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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.6 - Ex. 29

Ache os extermos relativos das funções trigonométricas dadas usando o teste da derivada segunda.

Função co-secante.

Passo 1

Vamos começar achandos os pontos críticos da função. Porque eles são os candidatos a extremo. Para isso vamos pegar a derivada de f x .

f x = cosec ⁡ x

f ' x = - cotan ⁡ x cosec ⁡ x

Os pontos crítos são aqueles que a derivada é 0 ou não existe. Aqui só vamos olhar quando a derivada é 0 .

f ' x = 0 → - cotan ⁡ x cosec ⁡ x = 0

cotan ⁡ x = 0   o u cosec ⁡ x = 0

A co-tangente é 0 em:

x = π 2 + k π

Com k nos inteiros.

Temos:

cosec ⁡ x = 1 sen ⁡ x

Então ela nunca será 0 .

Os nossos pontos críticos são

x = π 2 + k π

Passo 2

Agora, vamos tentar aplicar o teste da segunda derivada, que vai ser exatamente o que está aqui embaixo, mas só vale para os pontos críticos

f ' ' x < 0 ⇒ M á x i m o f ' ' x > 0 ⇒ M í n i m o

Se f ' ' x = 0 ou não existir, não funciona o teste.

Para fazer a segunda derivada temos que usar a regra do produto

f ' ' x = - cotan ⁡ x ' cosec ⁡ x - cotan ⁡ x cosec ⁡ x '

f ' ' x = cosec 2 ⁡ x cosec ⁡ x - cotan ⁡ x - cotan ⁡ x cosec ⁡ x

f ' ' x = cosec 3 ⁡ x + cotan 2 ⁡ x cosec ⁡ x

Temos que ver o valor de f ' ' x para x = π 2 + k π

Temos aquele co-tangente ali no meio. Que vai ser 0 para esse valor de x então temso que focar só no valor de co-secante.

Como

cosec ⁡ x = 1 sen ⁡ x

Tudo depende dos valores de seno para os pontos críticos.

Os pontos críticos são

x = π 2

x = 3 π 2

E somando uma volta para cada um deles. Eu separei porque para o primeiro caso, o seno vai ser 1 , para o segundo vai ser - 1 . Então vamos ter:

x = π 2 + 2 k π → f ' ' x = 1

x = 3 π 2 + 2 k π → f ' ' x = - 1

Assim:

x = π 2 + 2 k π → m í n i m o   r e l a t i v o

x = 3 π 2 + 2 k π → m á x i m o   r e l a t i v o

Resposta

x = π 2 + 2 k π → m í n i m o   r e l a t i v o

x = 3 π 2 + 2 k π → m á x i m o   r e l a t i v o

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