Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 5.10 - Ex. 22

Nos exercícios 17 a 34, determinar os pontos críticos das funções dadas, classificando-os, quando possível.

22.

Passo 1

Então galera, para encontrarmos os pontos críticos da função que nos foi dada basta derivarmos parcialmente a função em relação a e a e, em seguida, igualar as funções a zero! A função que nos foi dada é a seguinte:

Derivando em relação a :

Igualando ambas as equações a zero, teremos:

Da segunda equação, podemos tirar o seguinte:

Sendo assim, podemos concluir que os pontos críticos da função são .

Passo 2

Para classificarmos se o ponto crítico se trata de um ponto de máximo ou ponto de mínimo, devemos determinar as derivadas parciais de segunda ordem para, em seguida, utilizar o determinante Hessiano da função que temos, tudo bem? As derivadas serão:

Para :

Para as derivadas mistas:

Tudo bem, as derivadas foram encontradas!

Passo 3

Agora que encontramos as derivadas parciais, temos que o determinante será:

Sendo assim, temos que o resultado do nosso determinante é negativo. Pelas proposições estudadas na seção 5.6.1 temos que quando o determinante é menor do que zero, como é o nosso caso, então os pontos críticos em questão são pontos de sela. Dessa forma, temos que: