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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.Revisão - Ex. 31

Nos Exercícios de 19 a 32, determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.

29 )   ∫ 0 1 d x x + x ³  

Passo 1

Para começar, quando temos x = 0 teremos uma indeterminação, já que x + x ³ = 0 . Então, podemos usar a igualdade:

∫ 0 1 d x x + x ³   = lim a → 0 + ⁡ ∫ a 1 d x x + x ³  

Por frações parciais:

1 x + x ³ = 1 x ( 1 + x 2 ) = A x + B x + C 1 + x ² = A ( 1 + x ² ) x + ( B x + C ) x 1 + x ² = A + A x ² + B x ² + C x x ( 1 + x 2 )

A + B = 0

C = 0

A = 1 → B = - 1

A x + B x + C 1 + x ² = 1 x - x 1 + x ²

Na integral:

lim a → 0 + ⁡ ∫ a 1 d x x + x ³   = lim a → 0 + ⁡ ∫ a 1 1 x . d x   - lim a → 0 + ⁡ ∫ a 1 x 1 + x 2 . d x  

Resolvendo cada integral separadamente:

lim a → 0 + ⁡ ∫ a 1 1 x . d x   = l i m a → 0 + ln ⁡ x | 1 a = l i m a → 0 + ln ⁡ 1 - ln ⁡ a = ∞

Se a primeira integral diverge podemos concluir que a integral original também irá divergir.

Resposta

∫ 0 1 d x x + x ³   → D i v e r g e !

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Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta. ∫ 1 2 1 x x - 3 d x É uma integral imprópria.