Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.4 - Ex. 22
Nos Exercícios de 21 a 36, use o método desta secção para calcular a área da região dada; use retângulos inscritos ou circunscritos, conforme indicado. Para cada exercício, faça uma figura
mostrando a região e o i-ésimo retângulo.
A região do Exercício 21; retângulos circunscritos.
(região limitada por , o eixo x e a reta ;)
Passo 1
Para começar vamos determinar as extremidades do nosso problema:
Nossa região está sob a curva no intervalo fechado
Dividindo em subintervalos cada um com comprimento:
Passo 2
Nosso i-ésimo subintervalo é , onde .
Como o exercício nos pede a região por retângulos circunscritos e é crescente em nosso intervalo , o valor mínimo absoluto de em é . Logo a nossa área é dada por:
Como e ,
Mas , assim:
Passo 3
Aplicando o somatório de todos os subintervalos:
Extraímos a constante e utilizamos a regra da soma
Finalmente, fazendo o limite quando :
A área da região é unidades de área.
Passo 4
A figura abaixo mostra em verde a região o i-ésimo retângulo circunscrito, onde a base é dada por começando em e terminando em .
Resposta
unidades de área.