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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.2 - Ex. 13

Ache o centro, vértices, focos, extremidade do eixo menor da elipse dada. Faça um esboço da curva, mostrando os focos.

4 x 2 + 4 y 2 + 2 0 x - 32 y + 89 = 0

Passo 1

A questão pede para encontrar as principais características da elipse 4 x 2 + 4 y 2 + 20 x - 32 y + 89 = 0   . Note que agora temos termos de primeiro grau na equação. Desta forma, o vértice não estará na origem!

Completando quadrados para o termo com x :

4 x 2 + 20 x = 4 x 2 + 5 x = 4 x 2 + 5 x + 25 4 - 25 4 = 4 x + 5 2 2 - 25

Para y :

4 y 2 - 32 y = 4 y 2 - 8 y = 4 y 2 - 8 y + 16 - 16 = 4 y - 4 2 - 64

Assim, a equação da elipse será

4 x + 5 2 2 - 25 + 4 y - 4 2 - 64 + 89 = 0

Portanto,

4 x + 5 2 2 + 4 y - 4 2 = 0

Dividindo ambos os lados por 4 :

x + 5 2 2 + y - 4 2 = 0

Esta equação na verdade não é a equação de uma elipse, é a equação de um ponto. Note que a única solução real de uma equação do tipo a 2 + b 2 = 0 é a = b = 0 . Assim, temos que

x = - 5 2           e             y = 4

Portanto a equação fornecida é a equação do ponto

- 5 2 ,   4

Resposta

Trata-se do ponto - 5 2 ,   4 .

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