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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.4 - Ex. 21

Nos Exercícios de 21 a 36, use o método desta secção para calcular a área da região dada; use retângulos inscritos ou circunscritos, conforme indicado. Para cada exercício, faça uma figura

mostrando a região e o i-ésimo retângulo.

A região limitada por y   =   x ² , o eixo x e a reta x   =   2 ; retângulos inscritos.

Passo 1

Para começar vamos determinar as extremidades do nosso problema:

Nossa região está sob a curva y = x ² no intervalo fechado 0,2

Dividindo f x = x 2 em n subintervalos cada um com comprimento:

∆ x = 2 - 0 n = 2 n

Passo 2

Nosso i-ésimo subintervalo é [ x i - 1 , x i ] , onde i = 1 ,   2 ,   3 … ,   n .

Como o exercício nos pede a região por retângulos inscritos e f é crescente em nosso intervalo [ 0,2 ] , o valor mínimo absoluto de f em [ x i - 1 , x i ] é f ( x i - 1 ) . Logo a nossa área é dada por:

A = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i - 1 ∆ x

Como x i - 1 = i - 1 ∆ x e f x = x ² ,

f x i - 1 = x i - 1 2 = i - 1 ∆ x 2

Mas ∆ x = 2 n , assim:

= i - 1 2 ∆ x 2 = i - 1 2 ⋅ 4 n 2

Passo 3

Aplicando o somatório de todos os subintervalos:

∑ i = 1 n f x i - 1 ∆ x

= ∑ i = 1 n 4 i - 1 2 n ² ⋅ 2 n

= 8 n 3 ∑ i = 1 n i 2 - 2 i + 1

Utilizando a regra da soma ∑ k = 1 n k 2 = 1 6 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) :

∑ i = 1 n i 2 = 1 6 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )

Extraindo a constante e utilizando a regra e da soma ∑ k = 1 n k = 1 2 n ( n + 1 ) :

2 ∑ i = 1 n i = 2 ⋅ 1 2 n ( n + 1 )

E então aplicando a regra da soma ∑ k = 1 n a = a ⋅ n :

∑ i = 1 n 1 = 1 ⋅ n

Nossa soma fica:

8 n 3 ∑ i = 1 n i 2 - 2 i + 1 = 8 n 3 1 6 n n + 1 2 n + 1 - 2 ⋅ 1 2 n n + 1 + n

= 8 n 3 1 3 n 3 - 1 2 n 2 + 1 6 n

Finalmente, fazendo o limite quando n → + ∞ :

= lim n → ∞ ⁡ 8 n 3 1 3 n 3 - 1 2 n 2 + 1 6 n

= l i m n → ∞ 8 6 n 2 n 2 2 - 3 n + 1 n 2

= lim n → + ∞ ⁡ 8 6 ⋅ 2 - 3 n + 1 n 2 = 8 3

A área da região é 8 3 unidades ao quadrado.

Passo 4

A figura abaixo mostra em verde a região o i-ésimo retângulo inscrito, onde a base é dada por ∆ x começando em x i - 1 e terminando em x i .

Resposta

A = 8 3 unidades ao quadrado.

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