Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.7 - Ex. 34a

Em cada parte, determine se a aproximação trapezoidal subestima ou superestima a integral definida dada.

a   ∫ 0 1 cos ⁡ x 2 d x

Passo 1

E aíííí, galerinha! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Vamos resolver da maneira mais trivial: apenas calculando a integral aplicando a fórmula da regra citada.

Assim, lembrando que a fórmula da aproximação trapezoidal é dada por:

T n = b - a 2 n y 0 + 2 y 1 + 2 y 2 + … + 2 y n - 1 + y n

Podemos montar uma tabela para cada valor de y nos n subintervalos a fim de facilitar o nosso trabalho.

Para esse caso usaremos 10 subdivisões e teremos os seguintes valores:

n = 10 ,   a = 0 ,   b = 1

Ainda, o software usado para calcular a integral será o WolframAlpha e o resultado obtido será comparado ao encontrado na regra em questão.

Passo 2

Então, para a nossa respectiva integral

∫ 0 1 cos ⁡ x 2 d x

Temos que y = f x = cos ⁡ x 2 . Então, podemos montar a seguinte tabela:

Então, a aproximação se dará por:

T 10 = 1 - 0 2 0 18,38445171

Portanto:

T 10 = 0 , 919222586

Passo 3

Agora, através do Software citado na explicação obtemos:

∫ 0 1 cos ⁡ x 2 d x ≈ 0,904524

Observando os dois resultados, conseguimos ver que a aproximação trapezoidal nos dá um resultado que excede o valor e superestima a integral definida dada.

Resposta

Superestima

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