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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.2 - Ex. 7

Ache o centro, vértices, focos, extremidade do eixo menor da elipse dada. Faça um esboço da curva, mostrando os focos.

16 x 2 + 4 y 2 = 1

Passo 1

A questão pede para encontrar as principais características da elipse 16 x 2 + 4 y 2 = 1 . Note que neste caso não temos termos de primeiro grau, então o centro da elipse será a origem ( 0 ,   0 ) .

Podemos reescrever a elipse como

x 2 1 16 + y 2 1 4 = 1 ⇒ x 2 1 4 2 + y 2 1 2 2 = 1

Como 1 2 > 1 4 , o eixo maior dessa elipse é o eixo y e nele estarão os focos e os vértices. Temos então

a = 1 2         e         b = 1 4

Assim, os vértices serão

0 ,   - 1 2           e           0 , 1 2

Já as extremidades do eixo menor estarão sobre o eixo x :

- 1 4 ,   0         e         1 4 ,   0

Passo 2

Para acharmos os focos, temos que

a 2 = b 2 + c 2

Assim,

1 4 = 1 16 + c 2 ⇒ c 2 = 1 4 - 1 16 = 3 16 ⇒ c = 3 4

Portanto, os focos serão

0 ,   - 3 4           e           0 , 3 4

Passo 3

Um esboço da elipse é mostrado a seguir:

Resposta

Centro: ( 0 ,   0 )

Vértices: 0 ,   - 1 2     e       ( 0 , 1 2 )

Extremidades do eixo menor: - 1 4 ,   0       e         1 4 , 0

Focos: 0 ,   - 3 4       e       0 , 3 4

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Em cada um dos problemas 9 a 22, determinar a equação da elipse que satisfaz as condições dadas.16) eixo maior mede 10 e os focos F 1 ( 2 , - 1 ) e F 2 ( 2 ,5 ) .
Em cada um dos problemas 9 a 22, determinar a equação da elipse que satisfaz as condições dadas.12) centro C ( 0 ,0 ) , eixo menor mede 6, focos no eixo dos x e passa pelo ponto P - 2 5 ,2 .
Em cada um dos problemas 9 a 22, determinar a equação da elipse que satisfaz as condições dadas.13) centro C ( 0 ,0 ) , focos no eixo dos x , excentricidade e = 2 3 e passa pelo ponto 2 , - 5 3 .
Em cada um dos problemas 9 a 22, determinar a equação da elipse que satisfaz as condições dadas.11) centro C ( 0 ,0 ) , um foco F 0 , - 5 e eixo menor mede 4.
Em cada um dos problemas 9 a 22, determinar a equação da elipse que satisfaz as condições dadas.15) centro C ( 2 ,4 ) , um foco F ( 5 ,4 ) e excentricidade 3 4 .