Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.1 - Ex. 35

Nos exercícios de 23 a 42, prove que o limite é o número indicado, aplicando a Definição 2.1.1.

35)

Passo 1

Para satisfazer a Definição 2.1.1 precisamos mostrar que para todo existe um . Para começar vamos definir os valores de . Dada a definição de limite:

Assumimos que:

Sendo assim:

Para encontrar um o primeiro passo é substituir na desigualdade:

Passo 2

Substituindo :

Fatorando:

Pela definição de módulo:

Pela desigualdade que o problema nos forneceu, temos:

Em seguida precisamos obter uma desigualdade para o termo Essa desigualdade poderá ser obtida impondo uma restrição a sendo assim podemos assumir que :

Removendo o módulo:

A partir desta desigualdade podemos chegar a somando 2 aos seus termos:

Então

Substituindo :

Isso significa que devemos impor sobre duas restrições, . Assim sendo, ambas as restrições estarão satisfeitas de tomarmos o menor desses dois números, em símbolos

Assim, estabelecemos que tendo escolhido para todo a seguinte afirmativa é verdadeira:

então

Isso prova que

Resposta

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Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite28. lim x →- 6 + ⁡ 6 + x 8 = 0

Demonstre cada afirmação usando a definição ϵ , δ de limite. lim x → 0 ⁡ x 2 = 0

Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite30. lim x →2 ⁡ ( x 2 + 2 x - 7 ) = 1

Demonstre cada afirmação usando a definição ϵ , δ de limite. lim x → 0 ⁡ x 3 = 0

Se H for a função de Heaviside definida no Exemplo 6 da seção 2.2, demonstre, usando a Definição 2, que não existe lim t → 0 ⁡ H ( t ) . [Sugestão: Use uma demonstração indireta: suponha que o limite