Enunciado

Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.

23 - y = 3 x ,   y = 0 ,   y = 2

E – A reta y = -2.

Passo 1

Utilizaremos a fórmula:

V =   ∫ c d 2 π ⋅ r a i o   d a   c a s c a a l t u r a   d a   c a s c a d x

Como o exercício solicitou em torno de outro eixo, deveremos descobrir o valor dos limites para x, conforme calculado no exercício anterior, aqui apenas subsittuiremos ele na integral.

V =   2 π ∫ 0 6 ( 2 + y ) ( 2 - 1 3 y ) d x = 2 π ∫ 0 6 4 + 4 3 y - y 2 d x

Resolvendo a integral teremos:

V = 2 π 4 y + 4 y 2 2 ⋅ 3 - y 3 3 ⋅ 3 0 6 = 2 π 4 y + 4 y 2 6 - y 3 9 0 6

Resolvendo os limites de integração:

V = 2 π 4 ⋅ 6 + 4 ⋅ 6 2 6 - 6 3 9 - 4 ⋅ 0 + 4 ⋅ 0 2 6 - 0 3 9

V = 2 π 24 + 4 ⋅ 6 - 216 9 - 0 = 2 π 24 + 24 - 24

V = 2 π 24 ⇒ 48 π u . v .

Observação: Como pediu o volume e não foi informado uma unidade de medida utilizamos o termo u . v . que significa unidade de volume.

Resposta

Assim o volume será: 48 π u . v .

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