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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.6 - Ex. 32

Nos Exercícios 29-32, determine o centroide da placa fina limitada pelos gráficos das funções dadas. Use as Equações 6 e 7 com δ = 1 e M = área da região coberta pela placa.

32 - g x =   0 ,   f x = 2 + s e n   x ,   x = 0   e   x = 2 π

Suguestão:

∫ x   s e n   x   d x = s e n   x - x cos ⁡ x + C  

Passo 1

Como já temos os limites de integração: b = 2 π e a = 0 , vamos inserir a equação na integral e δ = 1 :

Calculando a área:

M =   ∫ 0 2 π 2 + s e n   x   d x   =   ∫ 0 2 π 2   d x + ∫ 0 2 π s e n   x   d x

Resolvendo as integrais:

M = 2 - cos ⁡ x 0 2 π

Substituindo na integral:

M = 2 ⋅ 2 π - cos ⁡ 2 π - 2 ⋅ 0 - cos ⁡ 0

M = 4 π - 1 - 0 - 1

M = 4 π - 1 + 1

M = 4 π   u . a .

Passo 2

Encontrando a coordenada x da centroide:

x - = 1 M ∫ 0 2 π x f x - g x d x

x - = 1 4 π ∫ 0 2 π x 2 + s e n   x - 0 d x

x - = 1 4 π ∫ 0 2 π 2 x + x s e n   x   d x = 1 4 π ∫ 0 2 π 2 x   d x + 1 4 π ∫ 0 2 π x   s e n   x   d x

x - = 1 4 π 2 x 2 2 0 2 π + 1 4 π ∫ 0 2 π x   s e n   x   d x

Utilizado a sugestão do enunciado:

x - = 1 4 π 2 x 2 2 0 2 π + 1 4 π s e n   x - x cos ⁡ x 0 2 π

Juntando as resoluções teremos:

x - = 1 4 π x 2 + s e n   x - x cos ⁡ x 0 2 π

Substituindo os limites:

x - = 1 4 π 4 π 2 + s e n   2 π - 2 π cos ⁡ 2 π - 0 2 + s e n   0 - 0 cos ⁡ 0

x - = 1 4 π 4 π 2 + 0 - 2 π - 0 = 1 4 π 4 π 2 - 2 π = 1 4 π 2 2 π 2 - π = 1 2 π 2 π 2 - π = π 2 π - 1 2 π

x - = 2 π - 1 2

Passo 3

Resolveremos agora os cálculos para encontrar a coordenada y:

Utilziaremos a seguinte fórmula:

y - = 1 M ∫ a b 1 2 f x 2 - g x 2 d x

y - = 1 4 π ∫ 0 2 π 1 2 2 + s e n   x 2 - 0 2   d x

y - = 1 8 π ∫ 0 2 π 4 + 4 s e n   x + s e n 2 x   d x

y - = 1 8 π ∫ 4   d x + 4 ∫ s e n   x   d x +   ∫ s e n 2 x   d x 0 2 π

Resolvendo as integrais:

Utilizando a substituição: s e n 2 x = 1 - cos ⁡ 2 x 2   e   ∫ s e n   x   d x =   - cos ⁡ x

y - = 1 8 π 4 x - 4 cos ⁡ x + ∫ 1 - cos ⁡ 2 x 2 d x 0 2 π = 1 8 π 4 x - 4 cos ⁡ x + 1 2 ∫ 1 - cos ⁡ 2 x   d x 0 2 π

y - = 1 8 π 4 x - 4 cos ⁡ x + 1 2 ∫ 1   d x -   ∫ cos ⁡ 2 x d x 0 2 π

Utilizando substituição trigonométrica:

u = 2 x

d u = 2   d x

d x = 1 2 d u

y - = 1 8 π 4 x - 4 cos ⁡ x + 1 2 x - 1 2 ∫ cos ⁡ u d u 0 2 π

y - = 1 8 π 4 x - 4 cos ⁡ x + 1 2 x - 1 2 s e n   u 0 2 π

Substituindo para u = 2 x

y - = 1 8 π 4 x - 4 cos ⁡ x + 1 2 x - 1 4 s e n ( 2 x ) 0 2 π

Substituindo os limites de integração:

y - = 1 8 π 4 ⋅ 2 π - 4 cos ⁡ 2 π + 2 π 2 - 1 4 s e n 2 ⋅ 2 π - 0 - 4 cos ⁡ 0 + 0 - 1 4 s e n 0

y - = 1 8 π 8 π - 4 ⋅ 1 + π - 1 4 ⋅ 0 - - 4 ⋅ 1 - 1 4 ⋅ 0

y - = 1 8 π 9 π - 4 + 4 = 1 8 π 9 π = 9 π 8 π = 9 8

Resposta

Assim o centro da massa será:

2 π - 1 2 , 9 8

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