Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.

25 - y = x + 2, y = x^2

D – O eixo y = 4 .

Passo 1

Utilizaremos a fórmula:

V =   2 π ∫ c d r a i o   d a   c a s c a a l t u r a   d a   c a s c a d y

Primeiramente precisamos encontrar os limites de integração:

Primeiramente descobrir nossos limites de integração, substituindo x pelos números obtidos nos exercícios anteriores, vamos lá?

Descobrindo o primeiro:

y = x + 2 ,   p a r a   x = 2 ; y = 4

Descobrindo o segundo:

y = x + 2 ; p a r a   x =   - 1 ; y = 1

Para tal existe um ponto 1 e 0.

Descobriremos agora as funções:

Assim teremos: y = 2 + x ,   x = y - 2 |   e   y = x 2 ,   x =   y

Para o raio teremos: 4 - y

V =   2 π ∫ 0 1 ( 4 - y ) y - ( - y ) d y + 2 π ∫ 1 4 ( 4 - y ) y - ( y - 2 ) d y

Estruturando os termos e resolvendo as multiplicações:

V = 2 π ∫ 8 ⋅ y 1 2 - 2 ⋅ y 3 2 0 1 + 2 π ∫ 4 ⋅ y 1 2 - 6 y + 8 - y 3 2 + y 2   d y 1 4

Assim:

V = 4 π ∫ 4 y 1 2 - y 3 2 0 1 + 2 π ∫ 4 y 1 2 - 6 y + 8 - y 3 2 + y 2   d y 1 4

Resolvendo a integral teremos:

V = 4 π 4 y 1 2 + 1 1 2 + 1 - y 3 2 + 1 3 2 + 1 0 1 + 2 π 4 y 1 2 + 1 1 2 + 1   - 6 y 1 + 1 1 + 1 + 8 y - y 3 2 + 1 3 2 + 1 + y 2 + 1 2 + 1 1 4

V = 4 π 4 y 3 2 3 2 - y 5 2 5 2 0 1 + 2 π 4 y 3 2 3 2   - 6 y 2 2 + 8 y - y 5 2 5 2 + y 3 3 1 4

Resolvendo:

V = 4 π 8 y 3 3 - 2 y 5 5 0 1 + 2 π 8 y 3 3 - 3 y 2 + 8 y - 2 y 5 5 + y 3 3 1 4

Resolvendo os limites de integração:

V = 4 π 8 1 3 3 - 2 1 5 5 - 8 0 3 3 - 2 0 5 5 + 2 π 8 4 3 3 - 3 4 2 + 8 ⋅ 4 - 2 4 5 5 + 4 3 3 - 8 1 3 3 - 3 ⋅ 1 2 + 8 ⋅ 1 - 2 1 5 5 + 1 3 3

V = 4 π 8 3 - 2 5 - 0 + 2 π 64 3 - 48 + 32 - 64 5 + 64 3 - 8 3 + 3 - 8 + 2 5 - 1 3

Assim:

V = 4 π 8 3 - 2 5 + 2 π 119 3 - 62 5 - 21

Resolvendo os cálculos:

V = 4 π 34 15 + 2 π 94 15 = 136 π 15 + 188 π 15 = 324 π 15

Simplificando temos:

V = 108 5 π   u . v .

Observação: Como pediu o volume e não foi informado uma unidade de medida utilizamos o termo u . v . que significa unidade de volume.

Resposta

Assim o volume será: V = 108 π 5 u . v .

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