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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.4 - Ex. 19

Nos exercícios de 1 a 25, determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente , calcule-a.

19. ∫ - 2 2 d x x 3  

Passo 1

Para determinar se a integral é convergente ou divergente, devemos obter o seu valor primeiro para com o resultado em mãos afirmar se ela convergiu para algum número ou divergiu para o infinito.

Quando se trabalha com integrais impróprias, devemos lembrar de analisar onde está havendo a descontinuidade para transformar a integral dada num limite ,com um t qualquer tendendo para onde ela é descontínua, da integral dada.

Devemos também, as vezes , fazer algumas jogadinhas nas integrais para parecer com alguma integral que apresenta o seu resultado já pronto e assim poupar tempo nas resoluções.

Passo 2

Ao analisarmos a integral dada percebemos que existe uma descontinuidade infinita tanto em 0 e um extremo superior infinito, sendo assim podemos reescrever a integral dada da seguinte forma:

∫ - 2 2 d x x 3   = lim t → 0 - ⁡ ∫ - 2 t d x x 3   + lim t → 0 + ⁡ ∫ t 2 d x x 3   = lim t → 0 - ⁡ - 1 2 x 2 - 2 t + lim t → 0 + ⁡ - 1 2 x 2 t 2 =

= l i m t → 0 - - 1 2 t 2 + 1 8 + l i m t → 0 + - 1 8 + 1 2 t 2

Como nenhum desses limites existe, a integral imprópria é divergente.

Resposta

a integral imprópria é divergente.

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