A integral

f x = 1 σ 2 π   e - 1 2 x - μ σ 2 é chamada função densidade de probabilidade normal, com média μ e desvio padrão σ e tem aplicações importantes em probabilidade e estatística .

  1. Dê um argumento convincente de que ∫ - ∞ ∞   1 σ 2 π   e - 1 2 x - μ σ 2 .

Passo 1

Nós podemos tomar ∫ - n n   f x d x   o mais próximo possível de 1, escolhendo n> 1 grande o suficiente. Além disso, podemos fazer ∫ n ∞   f x d x tão pequeno quanto queremos, escolhendo n grande o suficiente. Isto é possível porque 0 < f x < e - n 2   para x > 1 . Então,

∫ n ∞   f x d x < ∫ n ∞   e - x 2   d x   .  

E, como

∫ n ∞   e - x 2   d x = lim c → ∞ ⁡ ∫ n c   e - x 2 d x   =   l i m c → ∞   - 2 e - x 2 n c = l i m c → ∞   - 2   e - c 2 + 2 e - n 2 =   2 e - n 2  

Quando n → ∞ 2 e - n 2 → 0 , para n grande, ∫ n ∞   f x d x é tão pequena quanto nos desejarmos. Da mesma forma para n grande o suficiente,

∫ - ∞ - n   f x d x é tão pequena quando a gente queira.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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