Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.6 - Ex. 3
Nos Exercícios de 1 a 26, ache os extremos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico.
Passo 1
Para começar precisamos determinar quais são os pontos críticos da função. Esses pontos são os valores de x para os quais é igual a 0 ou para os quais não existe. Já para achar os pontos de inflexão do gráfico, ou seja, o ponto onde a função muda a direção da concavidade, precisamos achar os valores de x para os quais seja igual a 0 ou para os quais não existe.
Derivando a função:
Achando os pontos críticos:
Para achar os pontos de inflexão, a derivada segunda deve ser igual a 0:
Passo 2
Usando o teste da derivada segunda:
Pela tabela, podemos ver que , ou seja, temos um valor mínimo e máximo relativo, respectivamente. A mesma conclusão pode ser observada analisando a derivada primeira, o gráfico está decrescendo para valores menores que e crescendo para valores entre (), ou seja, ponto mínimo. Para () a função cresce e decresce para valores maiores que , ou seja, ponto máximo. Para o ponto de inflexão, a derivada segunda no intervalo () é positiva, concavidade para cima, e negativa, concavidade para baixo, indicando que é um ponto de inflexão.
Desenhando o gráfico da função:
Resposta
Mínimo Relativo:
Máximo Relativo:
Pontos de inflexão;
O gráfico possui concavidade para cima para:
O gráfico possui concavidade para baixo para: