Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 5.10 - Ex. 8f

Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos relativos das seguintes funções:

f)

Passo 1

Então pessoal, caso não se lembrem, por definição uma função é crescente se ela for contínua em um intervalo , derivável nesse mesmo intervalo e, por fim, se apresenta .

Por definição uma função é decrescente se ela for contínua em um intervlao , derivável nesse mesmo intervalo e ,por fim, se apresenta . Essas são as definições para intervalos crescentes e decrescentes de uma função e basta apenas isso e um pouco de intuição para resolvermos o problema, tudo jóia? Então bora lá!

Passo 2

Se derivarmos a função que nos foi dada, teremos:

Agora que descobrimos a derivada da nossa função, vamos fazer a análise para quando e quando .

Antes de tudo, vale ressaltar que não pode, de forma alguma, ser , pois o denominador não pode ser zero, ok? Continuando:

Aqui temos que as raízes da função são e , certo? Sendo assim, temos que analisar a função para quando tende a estes valores pela esquerda e pela direita, jóia? Não precisamos nos preocupar com o denominador porque ele sempre será positivo por conta do quadrado, sendo assim:

À direita de temos que ;

À esquerda de temos que ;

À direita de temos que ;

À esquerda de temos que .

Como fizemos essa análise? Uma maneira eficaz é adotar um valor de qualquer à direita e à esquerda das raízes da função e ver se a função dá positiva ou negativa. Como são vários intervalos, podemos reescreve-los da seguinte forma:

Intervalos crescentes: ;

Intervalos decrescentes: .

Passo 3

Agora que a primeira parte foi resolvida, temos que para descobrirmos quais são os máximos e mínimos de uma função existe um método bastante eficaz que utiliza derivação, assim como abordado no capítulo 5 da Flemming e Gonçalves. Vocês devem concordar que se um ponto é ponto de máximo ou mínimo, então sua derivada é nula nesse mesmo ponto, não é? Tendo isso em vista, devemos inicialmente descobrir os pontos críticos da função pela derivada primeira e, em seguida, analisar esses pontos críticos na função de fato. Fica tranquilo, vamos passo a passo!

Derivando nossa função, teremos:

Passo 4

Agora que encontramos nossa derivada, igualando-a a zero, teremos:

Assim como vimos no passo , esse resultado só é válido para e . Sabendo disso, então esses valores de são os pontos críticos da nossa função! Como a questão não definiu nenhum intervalo para a função em questão, vamos substituir esses pontos críticos na nossa função original para ver do que se trata, se liga: