Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 5.10 - Ex. 9h
Encontrar os pontos de máximo e mínimo relativos das seguintes funções, se existirem. Fazer um esboço do gráfico e comparar os resultados.
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Passo 1
Então pessoal, para descobrirmos quais são os máximos e mínimos de uma função existe um método bastante eficaz que utiliza derivação, assim como abordado no capítulo 5 da Flemming e Gonçalves. Vocês devem concordar que se um ponto é ponto de máximo ou mínimo, então sua derivada é nula nesse mesmo ponto, não é? Sendo assim, derivando nossa função para obter os pontos críticos, obteremos:
Igualando a zero:
Então apenas é um ponto crítico da nossa função.
Passo 2
Normalmente usaríamos o teste da derivada segunda para dizer se é um ponto de máximo ou de mínimo, mas essa estratégia não funcionará para o formato da função que temos! Sendo assim, vamos utilizar a análise de crescimento e decrescimento em torno desse ponto.
À esquerda de temos que ;
À direita de temos que .
Como fizemos essa análise? Uma maneira eficaz é adotar um valor de qualquer à direita e à esquerda de e ver se a derivada dá positiva ou negativa. Como a nossa função sai de um intervalo decrescente e vai para um intervalo crescente, então temos que é um ponto de mínimo! Em outras palavras:
Pontos de máximo: Não existem.
Pontos de mínimo: .
Passo 3
Se esboçarmos o gráfico da função, teremos:
Observando o gráfico podemos concluir que nosso resultado é bem satisfatório! Assim como calculamos, é um ponto de mínimo!
E essa é a nossa análise da função, pessoal!
Resposta
Pontos de máximo: Não existem.
Pontos de mínimo: .
