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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.6 - Ex. 30

Nos Exercícios 29-32, determine o centroide da placa fina limitada pelos gráficos das funções dadas. Use as Equações 6 e 7 com δ = 1 e M = área da região coberta pela placa.

30 – g x = x 2 ( x + 1 ) e f x = 2

Passo 1

Primeiramente vamos descobrir os limites de integração, igualando as duas funções e calculando as suas raízes:

f x = g x ; 2 = x 3 + x

x 3 + x 2 - 2 = 0

Utilizando uma calculadora, onteremos as raízes que a única raíz real para x = 1 .

Assim os limites de integração serão a = 0 ,   b = 1

Passo 2

M =   ∫ 0 1 f x - g x d x = ∫ 0 1 2 - x 3 - x 2 d x = 2 x - x 4 4 - x 3 3 0 1

Aplicando os limites de integração e achando M

M = 2 ⋅ 1 - 1 4 4 - 1 3 3 - 0 = 2 - 1 4 - 1 3 = 17 12

M = 17 12

Passo 3

Agora descobriremos o centro para coordenada x:

x - = δ 17 / 12 ∫ 0 1 x 2 - x 3 - x 2 d x = 12 17 ∫ 0 1 2 x - x 4 - x 3   d x

x - = 12 17 2 x 2 - x 5 5 - x 4 4 0 1

Resolvendo os limites de integração:

x - = 12 17 2 ⋅ 1 2 - 1 5 5 - 1 4 4

x - = 12 17 2 - 1 5 - 1 4 = 33 85

Passo 4

y - = δ M ∫ a b 1 2 f x 2 - g x 2   d x

y - = 12 17 ∫ 0 1 1 2 2 2 - x 2 ( x + 1 ) 2   d x

y - = 6 17 ∫ 0 1 4 - x 6 - 2 x 5 - x 4 = 6 17 4 x - x 7 7 - 2 x 6 6 - x 5 5 0 1

Resolvendo os limites de integração:

y - = 6 17 4 - 1 7 - 2 6 - 1 5 - 0 = 698 595

Passo 5

Desta forma o centro da massa será : x - , y - = 33 85 , 698 595

Resposta

x - , y - = 33 85 , 698 595

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Ache a área da região limitada pela curva y = s e nx , pela reta y = 1 e pelo eixo y à direita do eixo y.
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Nos Exercícios de 1 a 38 ache a área limitada pelas curvas dadas. Em cada problema, faça o seguinte: (a) desenhe uma figura mostrando a região e um elemento de área retangular; (b) expresse a área da
Nos Exercícios de 1 a 38 ache a área limitada pelas curvas dadas. Em cada problema, faça o seguinte: (a) desenhe uma figura mostrando a região e um elemento de área retangular; (b) expresse a área da