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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.9 - Ex. 42

Ache a área da região limitada pelas três curvas y = x 2 ,   x = y 3   e   x + y = 2 .

Passo 1

Observando o gráfico de cada curva, teremos:

Curva 1 - y = x 2 → f 1 x = x 2 :

Curva 2 - x = y 3 → f 2 ( x ) = x 3 :

Curva 3 - x + y = 2 → f 3 ( x ) = 2 - x :

Passo 2

Calculando os pontos de interseção:  

Curva 1 e Curva 2:

y = y 3 2 → y = y 6 → y = 0   o u   y 5 = 1 → y = 1 → A = 0,0   e   B = ( 1,1 )

Curva 1 e Curva 3:

2 - x = x 2 → x 2 + x - 2 = 0 → x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a → x = - 1 ± 1 2 - 4.1 . - 2 2.1 →

→ x = - 2   o u   x = 1 → C = - 2,4   e   B = ( 1,1 )

Curva 2 e Curva 3:

2 - y = y 3 → y 3 + y - 2 = 0 →

Fatorando, teremos:

y - 1 y 2 + y + 2 → y = 1   e   b 2 - 4 a c = 1 2 - 4.1 . 2 = - 7 < 0 → B = ( 1,1 )

Passo 3

Juntando os três gráficos, teremos:

Dessa maneira, teremos que dividir em dois intervalos:

  1. - 2 ≤ x < 0

    2. Nesse intervalo, a área desejada estará entre as curvas 3 e 1, daí teremos:

    A 1 = ∫ f x d x   e   f x = f 3 x - f 1 ( x )

    A 1 = ∫ - 2 0 2 - x - [ x 2 ] d x → ∫ - 2 0 2 - x - x ² d x → 2 x - x 2 2 - x 3 3 0 - 2

    A 1 = 2.0 - 0 2 2 - 0 3 3 - 2 - 2 - - 2 2 2 - - 2 3 3

    A 1 = 10 3

  2. 0 ≤ x ≤ 1

Nesse intervalo, a área desejada estará entre as curvas 1 e 2, então, teremos:

A 2 = ∫ f x d x   e   f x = f 2 x - f 1 ( x )

A 2 = ∫ 0 1 x 3 - x 2 d x

A 2 = ∫ 0 1 x 1 3 - x 2 d x

A 2 = 3 4 x 4 3 - x 3 3 1 0

A 2 = 3 4 1 4 3 - 1 3 3 - 3 4 0 4 3 - 0 3 3 → A 2 = 5 12   u . a .

Logo, a área total será

A = A 1 + A 2 = 10 3 + 5 12 = 4 5 12 = 15 4

Resposta

A área total será

A = 15 4

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