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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.7 - Ex. 40

Nos Exercícios 31-40, verifique se o ponto dado faz parte da curva e determine as retas que são (a) tangentes e (b) normais à curva no ponto dado.

40. x 2 cos 2 ⁡ y - sen ⁡ y = 0 ,       ( 0 , π )

Passo 1

Para verificar se o ponto faz parte da curva só precisamos substituir as coordenadas na função:

x 2 cos 2 ⁡ y - sen ⁡ y = 0 ,       ( 0 , π )

0 2 cos 2 ⁡ π - sen ⁡ π = 0 ,       ( 0 , π )

0 - 1 2 - 0 = 0

0 = 0

Portanto o ponto faz parte da curva.

Passo 2

a.

A reta tangente tem como inclinação o valor da derivada naquele ponto.

Derivando implicitamente a função:

2 x cos 2 ⁡ y + x 2 ( 2 cos ⁡ y ) ( - sen ⁡ y ) ( y ' ) - cos ⁡ y y ' = 0

- 2 x 2 cos ⁡ y sen ⁡ y - cos ⁡ y y ' = - 2 x cos 2 ⁡ y

y ' = - 2 x cos 2 ⁡ y - 2 x 2 cos ⁡ y sen ⁡ y - cos ⁡ y

y ' = 2 x cos 2 ⁡ y 2 x 2 cos ⁡ y sen ⁡ y + cos ⁡ y

O coeficiente angular da reta, tangente à função, no ponto 0 , π , vale:

y ' = 2 ( 0 ) cos 2 ⁡ π 2 ( 0 ) 2 cos ⁡ π sen ⁡ π + cos ⁡ π

y ' = 0 0 - 1

y ' = 0

A reta tem sua equação da forma:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

y - π = 0 x - 0

y = π

Passo 3

b.

A linha normal vai ter o mesmo ponto em comum. Como a reta y = π está na horizontal a sua reta normal vai ser uma reta na vertical.

Logo, como essa reta passa pelo ponto 0 , π , sua função vai ser:

x = 0

Resposta

O ponto faz parte da curva.

a. y = π

b. x = 0

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