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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 40

Nos exercícios de 40 a 45, uma partícula está se movendo ao longo de uma reta, de acordo com a equação de movimento dada, onde s cm é a distância orientada entre a partícula e a origem no instante t s. Mostre que o movimento é harmônico simples.

40. s = A s e n 2 π k t + B c o s ( 2 π k t ) , onde A, B e k são constantes.

Passo 1

A equação fornecida pelo enunciado é uma equação de movimento e periódica (quer dizer que ela repete o valor em determinado intervalo de tempo).

Para sabermos se o movimento é harmônico simples, temos que avaliar se a função que define o deslocamento e que define a aceleração têm sentidos opostos de crescimento (se uma negativa e a outra positiva), para saber a aceleração basta calcular a segunda derivada da função s(t), obtendo a(t).

Passo 2

1º - Vamos calcular a primeira derivada

  s ( t ) = A s e n 2 π k t + B c o s ( 2 π k t )

s ' t = A s e n 2 π k t ' + B ( c o s 2 π k t ) '

                      = A c o s 2 π k t ⋅ 2 π k - B s e n 2 π k t ⋅ ( 2 π k )

                      = 2 π k A c o s 2 π k t - 2 π k B s e n 2 π k t

Passo 3

2º - Vamos calcular a derivada de segunda ordem:

s ' t = 2 π k A c o s 2 π k t - 2 π k B s e n 2 π k t

s ' ' t = a ( t ) = - 2 π k A s e n 2 π k t ⋅ 2 π k - 2 π k B c o s 2 π k t ⋅ ( 2 π k )

= - 4 π 2 k 2 s e n ( 2 π k t ) - 4 π 2 k 2 c o s ( 2 π k t )

= - 4 π 2 k 2 s e n 2 π k t + c o s 2 π k t

Passo 4

Como podemos ver s t > 0   e   a t < 0 logo o movimento é harmônico simples.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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