Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.Revisão - Ex. 74
Se a equação do movimento é , prove que o movimento é harmônico simples.
Passo 1
Para que o movimento seja harmônico simples, a aceleração do corpo deve ser proporcional ao deslocamento s, e precisa assumir valor menor ou igual a zero, pois a força envolvida deve sempre ser contrária ao movimento da partícula.
Passo 2
Como precisamos primeiro da aceleração, faremos a primeira derivada da função dada no enunciado:
Aplicando a Regra da Cadeia no primeiro termo da derivada:
Faremos o mesmo para o segundo termo:
Substituindo os resultados ficamos com:
E essa será a velocidade da partícula.
Passo 3
Agora calcularemos a aceleração:
Aplicando a Regra da Cadeia novamente em cada termo:
No segundo termo:
Substituindo os resultados no início:
Passo 4
Podemos reescrever a equação em termos do deslocamento, pois o que está dentro dos parêntesis é exatamente o deslocamento s:
Como a aceleração é somente função do deslocamento, e é negativa, então o movimento é harmônico simples.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)