Enunciado

Nos exercícios de 13 a 24, ache a derivada da função dada

17) D u [ 3 u 2 + 5 3 3 u - 1 2 ]

Passo 1

Para resolvermos a derivada da função, vamos aplicar primeiro a regra do produto:

f x g x = f ' x g x + f x g ' ( x )

Então fica:

d d u 3 u 2 + 5 3 3 u - 1 2 + 3 u 2 + 5 3 d d u [ 3 u - 1 2 ]

Passo 2

Agora vamos aplicar a Regra da Cadeia para resolver a primeira derivada acima:

d d u 3 u 2 + 5 3

Fazemos a derivada da potência de fora:

d d t t 3 = 3 t 2

Substituímos t pelo que está dentro da potência e multiplicamos pela derivada dela:

3 3 u 2 + 5 2 d d u 3 u 2 + 5

E isso será:

18 u 3 u 2 + 5 2

Passo 3

Beleza, agora vamos resolver a segunda derivada da nossa conta do Passo 1:

d d u [ 3 u - 1 2 ]

Aplicamos a Regra da Cadeia e resolvemos a derivada da potência primeiro:

d d t t 2 = 2 t

Substituímos t pelo que está dentro da potência e multiplicamos pela derivada da função de dentro:

2 3 u - 1 d d u 3 u - 1

Resolvendo a derivada na conta de cima:

6 3 u - 1

Passo 4

Agora substituímos os dois resultados na regra do produto que aplicamos no início:

d d u 3 u 2 + 5 3 3 u - 1 2 + 3 u 2 + 5 3 d d u [ 3 u - 1 2 ]

  18 u 3 u 2 + 5 2 .   3 u - 1 2 + 3 u 2 + 5 3   .   6 3 u - 1

Reorganizando:

6 ( 3 u - 1 ) 3 u 2 + 5 2 ( 12 u 2 - 3 u + 5 )

Resposta

f ' u = 6 ( 3 u - 1 ) 3 u 2 + 5 2 ( 12 u 2 - 3 u + 5 )

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