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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.6 - Ex. 24

Determine as derivadas das funções

y = root(3)(2 r - r^2)

Passo 1

Este é um exercício de derivada em que devemos aplicar a regra da cadeia! Portanto, precisamos pegar a nossa h ( r ) dada e, a partir dela, obter funções f ( u ) e g ( r ) tais que:

h (r) = (f @ g) (r) = f (g (r))

Desta forma, precisamos visualizar a nossa função h como uma função composta! Somente a partir disto, poderemos determinar corretamente quem é d y // d r , pois, como esta é uma função composta, ao derivarmos ela, conforme a regra da cadeia, teremos a seguinte relação:

(d y)/(d r) = h^' (r) = f^' (g (r)) * g ' ( r )

Portanto, somente após descobrirmos quem é f ( u ) e g ( r ) poderemos derivar estas funções e aplicar corretamente a regra da cadeia.

O procedimento para a obtenção das funções f e g é tentar transformar o termo “mais interno” da nossa h em u = g ( r ) . Ao fazermos esta substituição, obteremos então a função f ( u ) . Complicado isto? Não se assuste, vamos para a questão que verá que é bastante fácil!

Passo 2

Vamos começar por determinar quem é f ( u ) e g ( r ) . Vejamos a nossa função dada:

y = root(3)(2 r - r^2)

O termo “mais interno” é 2 r - r^2 . Se fizermos u = g (r) = 2 r - r^2 e substituirmos na função acima, obtemos:

y = root(3)(u) = u^(1 // 3)

E é assim que conseguimos separar uma função composta! Simples, não é? Portanto, as nossas funções f e g são:

f (u) = u^(1 // 3)

g (r) = 2 r - r^2

Passo 3

Agora que determinamos quais são as funções f e g , podemos enfim começar a determinar a derivada d y // d r . Vamos começar por determinar a derivada da função f ( u ) . Sendo assim, temos:

y^' = f^' (u) = [u^(1 // 3)]^'

y^' = (1)/(3) u^(- 2 // 3) = (1)/(3 root(3)(u^2))

Passo 4

Vamos determinar agora a derivada da função g ( r ) . Sendo assim, temos:

u^' = g^' (r) = [2 r - r^2]^'

g^' (r) = 2 - 2 r

Passo 5

Vamos fazer a composição de f^' (u) com g ( r ) , isto é, obter f^' (g (r)) . Para isto, basta substituir g (r) = 2 r - r^2 em todo u na função f ' ( u ) . Portanto, temos:

f^' (g (r)) = f^' (2 r - r^2) = (1)/(3 root(3)((2 r - r^2)^2))

f^' (g (r)) = (1)/(3 root(3)((2 r - r^2)^2))

Passo 6

O que nos falta é multiplicar f^' (g (r)) por g ' ( r ) para obtermos a derivada d y // d r . Portanto, a resposta final do nosso problema é:

(d y)/(d r) = (1)/(3 root(3)((2 r - r^2)^2)) * ( 2 - 2 r )

Resposta

(d y)/(d r) = (2 - 2 r)/(3 root(3)((2 r - r^2)^2))

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