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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.6 - Ex. 23

Determine as derivadas das funções

y = sqrt(3 - t)

Passo 1

Este é um exercício de derivada em que devemos aplicar a regra da cadeia! Portanto, precisamos pegar a nossa h ( t ) dada e, a partir dela, obter funções f ( u ) e g ( t ) tais que:

h (t) = (f @ g) (t) = f (g (t))

Desta forma, precisamos visualizar a nossa função h como uma função composta! Somente a partir disto, poderemos determinar corretamente quem é d y // d t , pois, como esta é uma função composta, ao derivarmos ela, conforme a regra da cadeia, teremos a seguinte relação:

(d y)/(d t) = h^' (t) = f^' (g (t)) * g ' ( t )

Portanto, somente após descobrirmos quem é f ( u ) e g ( t ) poderemos derivar estas funções e aplicar corretamente a regra da cadeia.

O procedimento para a obtenção das funções f e g é tentar transformar o termo “mais interno” da nossa h em u = g ( t ) . Ao fazermos esta substituição, obteremos então a função f ( u ) . Complicado isto? Não se assuste, vamos para a questão que verá que é bastante fácil!

Passo 2

Vamos começar por determinar quem é f ( u ) e g ( t ) . Vejamos a nossa função dada:

y = sqrt(3 - t)

O termo “mais interno” é 3 - t . Se fizermos u = g (t) = 3 - t e substituirmos na função acima, obtemos:

y = sqrt(u) = u^(1 // 2)

E é assim que conseguimos separar uma função composta! Simples, não é? Portanto, as nossas funções f e g são:

f (u) = u^(1 // 2)

g (t) = 3 - t

Passo 3

Agora que determinamos quais são as funções f e g , podemos enfim começar a determinar a derivada d y // d t . Vamos começar por determinar a derivada da função f ( u ) . Sendo assim, temos:

y^' = f^' (u) = [u^(1 // 2)]^'

y^' = (1)/(2) u^(- 1 // 2) = (1)/(2 sqrt(u))

Passo 4

Vamos determinar agora a derivada da função g ( t ) . Sendo assim, temos:

u^' = g^' (t) = [3 - t]^'

g^' (t) = - 1

Passo 5

Vamos fazer a composição de f^' (u) com g ( t ) , isto é, obter f^' (g (t)) . Para isto, basta substituir g (t) = 3 - t em todo u na função f ' ( u ) . Portanto, temos:

f^' (g (t)) = f^' (3 - t) = (1)/(2 sqrt(3 - t))

f^' (g (t)) = (1)/(2 sqrt(3 - t))

Passo 6

O que nos falta é multiplicar f^' (g (t)) por g ' ( t ) para obtermos a derivada d y // d t . Portanto, a resposta final do nosso problema é:

(d y)/(d t) = (1)/(2 sqrt(3 - t)) * - 1

Resposta

(d y)/(d t) = (- 1)/(2 sqrt(3 - t))

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