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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.4 - Ex. 22

Nos exercícios de 13 a 32, ache o limite

underset(x -> 0^+)(lim) (x^2 - 3)/(x^3 + x^2)

Passo 1

Vamos mais uma questão?

Bom, nesse caso precisamos encontrar o limite dessa expressão com o nosso x tendendo a 0 lateralmente, apenas pelos valores maiores que o 0, ou seja, tá tendendo a 0 pela direita.

Primeiro passo é sempre o mesmo, tentar substituir o valor x e ver no que dá:

underset(x -> 0^+)(lim) (x^2 - 3)/(x^3 + x^2) = (0 - 3)/(0 + 0) = (- 3)/(0)

Opaaaa... olha que beleza, temos apenas um valor com 0 no denominador, sabemos que isso representa que o nosso limite tende a infinito.

Só precisamos saber então para qual infinito, se é + oo ou - oo . E para isso, vamos para a nossa análise de sinais.

Passo 2

Olhando para a nossa expressão, nós temos:

(x^2 - 3)/(x^3 + x^2)

Show de bolê... vamos começar olhando para o nosso numerador... quando x tende a 0 pelos valores a direita de 0, nós teremos:

x = 1 -> 1^2 - 3 = - 2

x = 0,1 -> 0,1^2 - 3 = - 2,99

x = 0,01 -> 0,01^2 - 3 = - 2,9999

Ou seja, nosso numerador será negativo.

Agora, vamos avaliar o nosso denominador... quando x tende a 0 pelos valores a direita de 0, nós teremos:

x = 1 -> 1^3 + 3^2 = 10

x = 0,1 -> 0,1^3 + 0,1^2 = 0,011

x = 0,01 -> 0,01^3 + 0,01^2 = 0,000101

Ou seja, nosso denominador será positivo.

Como nosso numerador vai dar em um número negativo e o denominador em um número positivo, nossa expressão vai assumir um valor negativo!

Fechou... agora é só correr pro abraço \o/

Passo 3

Sabemos que:

underset(x -> 0^+)(lim) (x^2 - 3)/(x^3 + x^2) = - (3)/(0)

E nosso limite vai para infinito, pois teremos um zero no nosso denominador.

Com a análise, vimos que esse limite vai dar num número negativo, com isso podemos afirmar que nosso limite vai para - oo .

underset(x -> 0^+)(lim) (x^2 - 3)/(x^3 + x^2) = - oo

Resposta

underset(x -> 0^+)(lim) (x^2 - 3)/(x^3 + x^2) = - oo

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h x = sgn ⁡ x - U x Lembrando que sgn ⁡ x é definido como sgn ⁡ x = - 1 s e x0 0 s e x = 0 1 s e x0 E U x é a função escada definida por U x = 0 s e x0 1 s e x ≥ 0 Ache, se existirem: a ) lim x → 0 +
Dada f (x) = {[[3,x,+,2,s,e,x,,4],[5,x,+,k,s,e,4,=,x]]) Ache o valor de k para o qual o underset(x - 4)(lim) f (x) existe.
Dada f (x) = {[[k,x,-,3,s,e,x,=,-,1],[x^2,+,k,s,e,-,1,,x]]) Ache o valor de k para o qual o underset(x - - 1)(lim) f (x) existe.
Sejaf (x) = {[[-,1,s,e,x,,0],[1,s,e,0,,x]]) Mostre que underset(x - 0)(lim) f (x) não existe, porém underset(x - 0)(lim) |f (x)| existe.
Dada f x = x 2 + 3 s e x ≤ 1 x + 1 s e 1x E g x = x 2 s e x ≤ 1 2 s e 1x a ) Mostre que lim x → 1 - ⁡ f x e lim x → 1 + ⁡ f x ambos existe, mas não são iguais e, portanto, lim x → 1 ⁡ f x não existe.