Seja

f x = - 1 s e x < 0 1 s e 0 < x

Mostre que lim x → 0 ⁡ f x não existe, porém lim x → 0 ⁡ f x existe.

Passo 1

Vamos lá pessoal.

Primeiro, temos que lembrar quando o limite existe. Lembram como vemos isso?

Vamos precisar ter os limites laterais iguais, beleza? Então no fundo temos que calcular os limites dessa função a direita e a esquerda de 0 .

Começando com o

lim x → 0 ⁡ f x

Que se resume a:

lim x → 0 + ⁡ f x

lim x → 0 - ⁡ f x

Depois disso, se esses limites forem uma constante e elas forem iguais, ele irá existir.

Passo 2

Vamos começar com o limite pela direita:

lim x → 0 + ⁡ f x

Para isso, temos que pegar a expressão da função para valores maiores de 0 .

Aqui vai ser 1 .

Logo, vamos ter

lim x → 0 + ⁡ 1 = 1

Passo 3

Agora vamos fazer o limite pela esquerda:

lim x → 0 - ⁡ f x

Para isso, temos que pegar a expressão da função para valores menores de 0 .

Aqui vai ser - 1 .

Logo, vamos ter

lim x → 0 - ⁡ - 1 = - 1

Passo 4

Beleza, agora que temos os dois limites laterais, para que o limite exista, os dois valores que achamos nos passos anteriores devem ser iguais.

Então, temos que ter

1 ⏟ l i m i t e   p e l a   d i r e i t a = - 1 ⏟ l i m t i e   p e l a   e s q u e r d a

Mas eles são diferentes, então não existe o limite de f x em 0 .

Passo 5

Agora vamos ver o outro limite

lim x → 0 ⁡ f x

Que se resume a:

lim x → 0 + ⁡ f x

lim x → 0 - ⁡ f x

Depois disso, se esses limites forem uma constante e elas forem iguais, ele irá existir.

Passo 6

Vamos começar com o limite pela direita:

lim x → 0 + ⁡ f x

Para isso, temos que pegar a expressão do módulo da função para valores maiores de 0 .

Aqui vai ser 1 .

Logo, vamos ter

lim x → 0 + ⁡ 1 = 1 = 1

Passo 7

Agora vamos fazer o limite pela esquerda:

lim x → 0 - ⁡ f x

Para isso, temos que pegar a expressão do módulo da função para valores menores de 0 .

Aqui vai ser - 1 .

Logo, vamos ter

lim x → 0 - ⁡ - 1 = - 1 = 1

Passo 8

Beleza, agora que temos os dois limites laterais, para que o limite exista, os dois valores que achamos nos passos anteriores devem ser iguais.

Então, temos que ter

1 ⏟ l i m i t e   p e l a   d i r e i t a = 1 ⏟ l i m t i e   p e l a   e s q u e r d a

Opa, eles são iguais então o limite de f x existe e vai ser 1

lim x → 0 ⁡ f x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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