Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.3 - Ex. 33
Seja
Mostre que não existe, porém existe.
Passo 1
Vamos lá pessoal.
Primeiro, temos que lembrar quando o limite existe. Lembram como vemos isso?
Vamos precisar ter os limites laterais iguais, beleza? Então no fundo temos que calcular os limites dessa função a direita e a esquerda de .
Começando com o
Que se resume a:
Depois disso, se esses limites forem uma constante e elas forem iguais, ele irá existir.
Passo 2
Vamos começar com o limite pela direita:
Para isso, temos que pegar a expressão da função para valores maiores de .
Aqui vai ser .
Logo, vamos ter
Passo 3
Agora vamos fazer o limite pela esquerda:
Para isso, temos que pegar a expressão da função para valores menores de .
Aqui vai ser .
Logo, vamos ter
Passo 4
Beleza, agora que temos os dois limites laterais, para que o limite exista, os dois valores que achamos nos passos anteriores devem ser iguais.
Então, temos que ter
Mas eles são diferentes, então não existe o limite de em .
Passo 5
Agora vamos ver o outro limite
Que se resume a:
Depois disso, se esses limites forem uma constante e elas forem iguais, ele irá existir.
Passo 6
Vamos começar com o limite pela direita:
Para isso, temos que pegar a expressão do módulo da função para valores maiores de .
Aqui vai ser .
Logo, vamos ter
Passo 7
Agora vamos fazer o limite pela esquerda:
Para isso, temos que pegar a expressão do módulo da função para valores menores de .
Aqui vai ser .
Logo, vamos ter
Passo 8
Beleza, agora que temos os dois limites laterais, para que o limite exista, os dois valores que achamos nos passos anteriores devem ser iguais.
Então, temos que ter
Opa, eles são iguais então o limite de existe e vai ser
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)