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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.5 - Ex. 32

Nos exercícios de 31 a 42, ache f’(a) para o valor de f’(a).

32. f x = x ⋅ s e n x ; a = 3 2 π

Passo 1

Para calcular essa derivada, vamos usar a regra do produto.

Regra do produto:

f x ⋅ g x '   = f x   ' ⋅ g x + g x ' ⋅ f x

Passo 2

Derivando:

f ' ( x ) = x ' ⋅ s e n x + x ⋅ ( s e n x ) '

= 1 ⋅ s e n x + x ⋅ c o s x

= s e n x + x c o s x

Passo 3

Agora vamos calcular f’(a) para a = 3 2 π :

f ' x = s e n x + x c o s x

f ' 3 2 π = s e n 3 2 π + 3 2 π ⋅ cos ⁡ 3 2 π

                                  = - 1 + 3 2 π ⋅ 0 = - 1

Resposta

f ' 3 2 π = - 1

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Use a regra do quociente para deduzir a fórmula para a derivada de f x = x - n , onde n é um número inteiro positivo.
37-a) Defina o que deveria significar duas curvas se intersectando em ângulo reto.b)Prove que as curvas y = 1 / x e y = 1 / ( 2 - x ) se intersectam em ângulo reto.
39- Encontre uma fórmula geral para F ´ ´ ( x ) se F x = xf ( x ) e f e f ´ forem diferenciáveis em x .
40- Suponha que a função f seja diferenciável em toda parte e que F x = xf ( x ) .a) Expresse F ´ ´ ´ ( x ) em termos de x e das derivadas de f .b) Para n ≥ 2 , conjecture uma fórmula para F n ( x ) .