Enunciado

Encontre F ' ( pi ) , dado que f (pi) = 1 0 , f^' (pi) = - 1 , g (pi) = - 3 e g^' (pi) = 2 .

(a) F (x) = 6 f (x) - 5 g ( x )

(b) F (x) = x (f (x) + g (x))

(c) F (x) = 2 f (x) g ( x )

(d) F (x) = (f (x))/(4 + g (x))

Passo 1

Se o problema está nos pedindo o valor da derivada de F ( x ) quando x = 2 , primeiro temos que derivar a função e depois substituir o ponto que queremos, ok?

Passo 2

(a) F (x) = 6 f (x) - 5 g ( x )

Primeiro, vamos derivar:

F (x) = 6 f (x) - 5 g (x)

Derivando:

F^' (x) = 6 f^' (x) - 5 g ' ( x )

E no ponto x = pi :

F^' (pi) = 6 f^' (pi) - 5 g ' ( pi )

Como o enunciado nos deu que f^' (pi) = - 1 e g^' (pi) = 2 :

F^' (pi) = 6 (- 1) - 5 (2) = - 16

:.

F^' (pi) = - 1 6

Passo 3

(b) F (x) = x (f (x) + g (x))

Primeiro, vamos derivar:

F (x) = x (f (x) + g (x))

Pela regra do produto:

F^' (x) = (x)^' (f (x) + g (x)) + (x) (f (x) + g (x))^'

F^' (x) = (1) (f (x) + g (x)) + (x) (f^' (x) + g^' (x))

E no ponto x = pi :

F^' (pi) = (f (pi) + g (pi)) + (pi) (f^' (pi) + g^' (pi))

Como o enunciado nos deu que f (pi) = 10 , f^' (pi) = - 1 , g (pi) = - 3 e g^' (pi) = 2 :

F^' (pi) = 10 - 3 + pi ( - 1 + 2 )

:.

F^' (pi) = 7 + pi

Passo 4

(c) F (x) = 2 f (x) g ( x )

Primeiro, vamos derivar:

F (x) = 2 f (x) g (x)

Pela regra do produto:

F^' (x) = (2 f (x))^' (g (x)) + (2 f (x)) (g (x))^'

F^' (x) = (2 f ' ( x )) (g (x)) + (2 f (x)) (g^' (x))

E no ponto x = pi :

F^' (pi) = (2 f ' ( pi )) (g (pi)) + (2 f (pi)) (g^' (pi))

Como o enunciado nos deu que f (pi) = 10 , f^' (pi) = - 1 , g (pi) = - 3 e g^' (pi) = 2 :

F^' (pi) = 2 (- 1) (- 3) + 2 (10) (2) = 6 + 40

:.

F^' (pi) = 46

Passo 5

(d) F (x) = (f (x))/(4 + g (x))

Primeiro, vamos derivar:

F (x) = (f (x))/(4 + g (x))

Pela regra do quociente:

F^' (x) = ((f (x))^' (4 + g (x)) - (f (x)) (4 + g (x))^')/(( 4 + g (x) )^2)

F^' (x) = ((f ' (x)) (4 + g (x)) - (f (x)) ( g^' (x) ))/(( 4 + g (x) )^2)

E no ponto x = pi :

F^' (pi) = ((f ' (pi)) (4 + g (pi)) - (f (pi)) ( g^' (pi) ))/(( 4 + g (pi) )^2)

Como o enunciado nos deu que f (pi) = 10 , f^' (pi) = - 1 , g (pi) = - 3 e g^' (pi) = 2 :

F^' (pi) = (( - 1 ) (4 - 3) - ( 10 ) ( 2 ))/((4 - 3)^2) = - (2 1)/(1)

:.

F^' (pi) = - 2 1

Resposta

(a) F^' (pi) = - 1 6

(b) F^' (pi) = 7 + pi

(c) F^' (pi) = 46

(d) F^' (pi) = - 2 1

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