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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.5 - Ex. 28

Nos exercícios de 17 a 30, calcule a derivada indicada.

28. D z [ z 2 + cos ⁡ z ⋅ ( 2 z - s e n ( z ) ) ]

Passo 1

Para realizar essa derivada vamos usar a regra do produto e a derivação polinomial.

Regra do produto:

D x f x ⋅ g x   = D x ( f ( x ) ⋅ g x + D x ( g x ) ⋅ f x

Derivação polinomial:

x a ' = a ⋅ x a - 1

Passo 2

Aplicando na expressão que temos:

D z z 2 + cos ⁡ z ⋅ 2 z - s e n z

= D z z 2 + cos ⁡ z ⋅ 2 z - s e n z + z 2 + cos ⁡ z ⋅ D z 2 z - s e n z

Passo 3

1º derivada de D z z 2 + cos ⁡ z :

D z z 2 + cos ⁡ z = D z z 2 + D x c o s z

= 2 ⋅ z 2 - 1 - s e n z

= 2 z - s e n z

Passo 4

2º derivada de D z 2 z - s e n z :

D z 2 z - s e n z = D z 2 z - D z ( s e n z )

= 2 - c o s z

Passo 5

Substituindo na expressão inicial:

D z z 2 + cos ⁡ z ⋅ 2 z - s e n z + z 2 + cos ⁡ z ⋅ D z 2 z - s e n z

= 2 z - s e n z ⋅ 2 z - s e n z + z 2 + cos ⁡ z ⋅ ( 2 - c o s z )

= 2 z - s e n z 2 + z 2 + cos ⁡ z ⋅ ( 2 - c o s z )

Resposta

D z z 2 + cos ⁡ z ⋅ 2 z - s e n z = 2 z - s e n z 2 + z 2 + cos ⁡ z ⋅ ( 2 - c o s z )

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