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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.6 - Ex. 3

Nos Exercícios 1-14, determine se as séries alternadas convergem ou divergem. Algumas das séries não satisfazem as condições do teste da série alternada.

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 1 n ∙ 3 n

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Vamos considerar a sequência, dado por:

u n = 1 n ∙ 3 n

que é positiva para todo n, vamos definir a função f n = u n e encontrar sua derivada:

f ' n = 1 n ∙ 3 n ' = 1 ' . n ∙ 3 n - 1 ∙ n ∙ 3 n ' n ∙ 3 n 2 =   - ( 3 n + 3 n ln ⁡ 3 ) n 2 ∙ 3 2 n

Como a derivada é negativa para todo valor de n, temos que a sequência u n é decrescente.

Por fim, calculando o limite infinito de u n temos:

lim n →  ∞ ⁡ 1 n ∙ 3 n = 0

Como a sequência u n é decrescente e tende para zero, pelo teste de Leibniz, a série alternada converge.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Converge pelo teste de Leibniz.

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