Nos Exercícios 1-14, determine se as séries alternadas convergem ou divergem. Algumas das séries não satisfazem as condições do teste da série alternada.

∑ n = 1 ∞ - 1 n 10 n n + 1 !  

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Vamos considerar a sequência, dado por:

u n = 10 n n + 1 !  

Veja que é positiva para todo n, quando n ≥ 10 a sequência u n é decrescente porque você continua multiplicando o numerador por 10 e o denominador por 10, 11, 12, ...

Por fim, calculando o limite infinito de u n temos:

lim n →  ∞ ⁡ 10 n n + 1 !   = 0

uma vez que o denominador cresce estritamente mais rápido que o numerador.

Como a sequência u n é decrescente e tende para zero, pelo teste de Leibniz, a série alternada converge.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Converge pelo teste de Leibniz.

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