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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.6 - Ex. 14

Nos Exercícios 1-14, determine se as séries alternadas convergem ou divergem. Algumas das séries não satisfazem as condições do teste da série alternada.

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 3 n + 1 n + 1    

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Vamos considerar a sequência, dado por:

a n = - 1 n + 1 3 n + 1 n + 1

Seja n = 2k (número par), então o limite infinito de a n temos:

lim n →  ∞ ⁡ - 1 n + 1 3 n + 1 n + 1 = lim k →  ∞ ⁡ - 1 2 k + 1 3 2 k + 1 2 k + 1 = lim k →  ∞ ⁡ - 1 2 k + 1 ∙ l i m k →   ∞ 3 2 k + 1 2 k + 1

Se 2k é par então 2k+1 é impar e, portanto - 1 2 k + 1 = - 1 , logo:

( - 1 ) ⁡ ∙ l i m k →   ∞ 3 2 k + 1 2 k + 1 = ( - 1 ) ⁡ ∙ l i m k →   ∞ 3 1 + 1 2 k 1 + 1 2 k = - 1 ∙ l i m k →   ∞ 3 1 + 0 1 + 0 =   - 1 ∙ 3 = - 3    

Como a sequência u n é decrescente e tende para um valor diferente de zero a série diverge.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Diverge pelo teste de Leibniz.

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