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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.3 - Ex. 11

Nos Exercícios 11-14, encontre o parâmetro de comprimento de arco ao longo da curva a partir do ponto em que t = 0, avaliando a integral

s = ∫ 0 t v τ d τ

da Equação 3. Em seguida, encontre o comprimento da parte indicada da curva.

r t = 4 cos ⁡ t i + 4   s e n   t j + 3 t k , 0 ≤ t ≤ π / 2 .

Passo 1

Fala minha galera querida!! Para encontrar o parâmetro precisamos primeiro derivar a função r em t, e depois encontrar o módulo desse vetor.

v t = d r d t

d d t 4 cos ⁡ t i + 4   s e n   t j + 3 t k = - 4   s e n   t i + 4 cos ⁡ t j + 3 k

Passo 2

Como encontrar o módulo do vetor? Só tirar a raiz da soma de todas as componentes ao quadrado.

v = - 4   s e n   t 2 + 4 cos ⁡ t 2 + 3 2

v = 16 s e n 2   t + 16 cos 2 ⁡ t + 9

Da relação fundamental da trigonometria 16 s e n 2   t + 16 cos 2 ⁡ t = 16

v = 16 + 9

v = 5

Passo 3

E agora vamos finalizar achando o comprimento usando a fórmula dada no enunciado.

s ( t ) = ∫ 0 t v τ d τ

s π 2 = ∫ 0 π 2 5 d τ

s π 2 = 5 π 2

Bora pro próximo!

Resposta

s π 2 = 5 π 2 .

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