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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.3 - Ex. 12

Nos Exercícios 11-14, encontre o parâmetro de comprimento de arco ao longo da curva a partir do ponto em que t = 0, avaliando a integral

s = ∫ 0 t v τ d τ

da Equação 3. Em seguida, encontre o comprimento da parte indicada da curva.

r t = t   s e n   t + cos ⁡ t i +   s e n   t - t cos ⁡ t j , π / 2 ≤ t ≤ π .

Passo 1

Fala minha galera querida!! Para encontrar o parâmetro precisamos primeiro derivar a função r em t, e depois encontrar o módulo desse vetor.

v t = d r d t

d d t t   s e n   t + cos ⁡ t i +   s e n   t - t cos ⁡ t j

= - s e n   t + s e n   t + t cos ⁡ t i + cos ⁡ t - cos ⁡ t + t   s e n   t j

= t cos ⁡ t i + t   s e n   t j

Passo 2

Como encontrar o módulo do vetor? Só tirar a raiz da soma de todas as componentes ao quadrado.

v = t cos ⁡ t 2 + t   s e n   t 2

v = t 2 cos 2 ⁡ t + t 2   s e n 2   t

Da relação fundamental da trigonometria t 2 s e n 2   t + t 2 cos 2 ⁡ t = t 2

v = t 2

v = t

Passo 3

E agora vamos finalizar achando o comprimento usando a fórmula dada no enunciado.

s ( t ) = ∫ 0 t v τ d τ

s π - s π 2 = ∫ 0 π τ d τ - ∫ 0 π 2 τ d τ

s π - s π 2 = π 2 2 - π 2 2 2

s π - s π 2 = 3 π 2 8

Bora pro próximo!

Resposta

s π - s π 2 = 3 π 2 8 .

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Nos Exercícios 1-8, encontre o vetor tangente unitário da curva. Encontre também o comprimento da parte indicada da curva.
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