Determine o comprimento da curva dada.

r(t) = 〈 t, 3 cos(t), 3 sen(t) 〉, -5 ≤ t ≤ 5

Passo 1

Olá, meu parceiro. Vamos de resolução hoje.

Temos que:

r t = t , 3 cos ⁡ t ,   3 sen ⁡ t

Dentro do intervalo:

- 5 ≤ t ≤ 5

E queremos encontrar o comprimento dessa curva, nesse intervalo.

Para isso, utilizamos a equação de comprimento de uma curva parametrizada:

L = ∫ a b r ' ( t ) d t

Então teremos que derivar nossa curva, e após isso encontrar o modulo dela, e então por último iremos integrar.

Passo 2

Então, temos que para derivar uma curva parametrizada basta derivar cada termo individualmente:

r t = t , 3 cos ⁡ t ,   3 sen ⁡ t

r ' t = 1 , - 3  sen t ⁡ ,   3 cos ⁡ t ,

Feito esse passo, precisamos agora calcular r ' t . Então vamos la!

r ' ( t ) = 1 2 + - 3   s e n   t 2 + 3 cos ⁡ t   2

Isso nos dá que:

r ' ( t ) = 1 + 9 sin 2 ⁡ t + 9 cos 2 ⁡ t

Colocando em evidência:

r ' ( t ) = 1 + 9 ( sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t )

Sabemos que sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1

Então,

r ' t = 1 + 9 ⋅ 1

r ' t = 10

Passo 3

Agora precisamos integrar esse valor que encontramos, ou seja:

∫ a b r ' ( t ) d t

Note que nosso intervalor é:

- 5 ≤ t ≤ 5

E que encontramos

r ' ( t ) = 10

Assim,

∫ - 5 5 10 d t = 10 t - 5 5 = 10 ⋅ 5 - 10 ⋅ - 5

L = 10 10

E fechamos o exercício o/

Resposta

10 10

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