Determine o comprimento da curva dada.
Passo 1
Olá, meu parceiro. Vamos de resolução hoje.
Temos que:
Dentro do intervalo:
E queremos encontrar o comprimento dessa curva, nesse intervalo.
Para isso, utilizamos a equação de comprimento de uma curva parametrizada:
Então teremos que derivar nossa curva, e após isso encontrar o modulo dela, e então por último iremos integrar.
Passo 2
Então, temos que para derivar uma curva parametrizada basta derivar cada termo individualmente:
Feito esse passo, precisamos agora calcular . Então vamos la!
Isso nos dá que:
Colocando em evidência:
Sabemos que
Então,
Passo 3
Agora precisamos integrar esse valor que encontramos, ou seja:
Note que nosso intervalor é:
E que encontramos
Assim,
E fechamos o exercício o/