Enunciado

Nos exercícios de 57 a 60 , prove que lim x → + ∞ ⁡ f x = 1 , aplicando a Definição 2.5 . 1 ; isto é, dado ε > 0 , mostre que existe um número N > 0 tal que se x > N , então f x - 1 < ε .

58 )   f x = 2 x 2 x + 3

Passo 1

Pra gente realizar essa demonstração temos que buscar um valor de N que satisfaça, ok? Pra isso uma boa primeira ideia é pegar f x - 1 < ε e colocar a expressão de f x dentro dela! Saca só:

2 x 2 x + 3 - 1 < ε

E agora manipulando um pouco:

2 x 2 x + 3 - 2 x + 3 2 x + 3 < ε

2 x - 2 x - 3 2 x + 3 < ε

- 3 2 x + 3 < ε

Dando mais uma mexidinha:

- 3 2 x + 3 < ε

3 2 x + 3 < ε

E invertendo:

2 x + 3 3 > 1 ε

2 x + 3 > 3 ε

Passo 2

Como o limite que estamos fazendo é pro infinito, nem rola estresse com esse módulo. A gente consegue achar N tranquilo se esquecermos dele e fizermos x = N . Dá uma olhada:

2 N + 3 = 3 ε

2 N = 3 ε - 3

2 N = 3 ε - 3 ε ε

2 N = 3 1 - ε ε

Por fim:

N = 3 2 ∙ 1 - ε ε

Conclusão que chegamos é que se para todo ε > 0 , não importa o quão pequeno, existir um número N = 3 2 ∙ 1 - ε ε tal que x > N , então será verdade f x - 1 < ε .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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