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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.2 - Ex. 26

Determine os limites nos Exercícios 23-42.

underset(x -> 2)(lim) (x^2 - 7 x + 10)/(x - 2)

Passo 1

Galera sempre que tiver que calcular um limite, vamos fazer um combinado: substituir o valor de x na função! Se der um número, esse vai ser o valor do limite.

Passo 2

No nosso caso, o ponto é x = 2 e a função f (x) = (x^2 - 7 x + 10)/(x - 2) . Então, temos que

f (2) = (( 2 )^2 - 7 ( 2 ) + 10)/(( 2 ) - 2) = (0)/(0)

Passo 3

Como não deu um número, precisamos manipular o limite!

Sempre que tiver um polinômio no numerador e no denominador, vamos tentar fatorar esses polinômios.

Nesse caso o denominador já está fatorado, então basta olhar o numerador. Vamos lembrar que todo polinômio do segundo grau da forma a x^2 + b x + c pode ser reescrito como:

a x^2 + b x + c = a (x - x_1) (x - x_2)

Onde x_1 e x_2 são as raízes do polinômio. No nosso caso temos que a = 1 , b = - 7 , c = 10 e

x^2 - 7 x + 10 = 1 ( x - x_1 ) ( x - x_2 )

Passo 4

Precisamos então achar as raízes! Para isso, vamos usar a fórmula de bháskara

x_1 , x_2 = (- b +- sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a) = (7 +- sqrt(( - 7 )^2 - 4.1 . ( 10 )))/(2.1) = 5,2

Então vamos ter que o denominador vai ficar:

x^2 + 3 x - 10 = 1 (x - x_1) (x - x_2) = 1 . (x - (5)) (x - (2)) = ( x - 5 ) ( x - 2 )

Passo 5

Vamos juntar tudo então

underset(x -> 2)(lim) (x^2 - 7 x + 10)/(x - 2) = underset(x -> 2)(lim) (( x - 5 ) ( x - 2 ))/(x - 2) = underset(x -> 2)(lim) (( x - 5 ))/(1)

Agora sim, podemos substituir o ponto na função:

underset(x -> 2)(lim) (( x - 5 ))/(1) = ((2) - 5)/(1) = - 3

Resposta

underset(x -> 2)(lim) (x^2 - 7 x + 10)/(x - 2) = - 3

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58. Em cada parte, encontre o maior intervlao aberto, centrado no ponto x = 1 , tal que, para cada ponto x do intervalo diferente do centro, o valor de f x = 1 x - 1 2 é maior do que M .c) M = 100000
71-74. Escreva por extenso as definições dos limites dados na nota da margem da página 105) e use sua definição para provar que o limite dado está correto.71. a) lim x → 1 + ⁡ 1 1 - x = - ∞
71-74. Escreva por extenso as definições dos limites dados na nota da margem da página 105) e use sua definição para provar que o limite dado está correto.74. a) lim x → + ∞ ⁡ x 2 - 3 = + ∞
57. b) Encontre o maior intervalo aberto, centrado no ponto x = 1 , tal que, para cada ponto x do intervalo, diferente de 1 , o valor da função f x = 1 x - 1 é maior do que 1000 .
65-70. Use as definições do Exercício 27 para provar que o limite lateral dado está correto.67. lim x → 4 + ⁡ x - 4 = 0