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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.2 - Ex. 38

Determine os limites nos Exercícios 23-42.

underset(x -> - 1)(lim) (sqrt(x^2 + 8) - 3)/(x + 1)

Passo 1

Galera sempre que tiver que calcular um limite, vamos fazer um combinado: substituir o valor de x na função! Se der um número, esse vai ser o valor do limite.

Passo 2

No nosso caso, o ponto é x = - 1 e a função f (x) = (sqrt(x^2 + 8) - 3)/(x + 1) . Então, temos que

f (- 1) = (sqrt((- 1)^2 + 8) - 3)/((- 1) + 1) = (sqrt(9) - 3)/(0) = (0)/(0)

Passo 3

Como não deu um número, precisamos manipular o limite!

Sempre que tiver uma raiz nós vamos multiplicar em cima e embaixo pelo conjugado! Para achar o conjugado basta inverter o sinal do termo, ou seja, o conjugado de sqrt(x^2 + 8) - 3 é:

sqrt(x^2 + 8) + 3

Passo 4

Então vamos fazer a multiplicação e a substituição do numerador pela forma fatorada

underset(x -> - 1)(lim) ((sqrt(x^2 + 8) - 3)/(x + 1)) * ((sqrt(x^2 + 8) + 3)/(sqrt(x^2 + 8) + 3)) = underset(x -> - 1)(lim) (( sqrt(x^2 + 8) - 3 ) ( sqrt(x^2 + 8) + 3 ))/(( x + 1 ) ( sqrt(x^2 + 8) + 3 ))

Agora vamos olhar para o numerador e vamos precisar lembrar do caso da diferença de quadrados que diz que:

(a + b) (a - b) = a^2 - b^2

No nosso caso, comparando as expressões vamos ter que a = sqrt(x^2 + 8) e b = 3 . Então o numerador vai ficar

( sqrt(x^2 + 8) - 3 ) ( sqrt(x^2 + 8) + 3 ) = (sqrt(x^2 + 8))^2 - (3)^2 = x^2 + 8 - 9 = x^2 - 1

Sempre devemos tentar deixar os termos na forma mais fatorada possível, isso ajuda muito nas contas! Talvez você não esteja vendo, mas x^2 - 1 é um caso de diferença de quadrados com a = x e b = 1 , ou seja:

(sqrt(x^2 + 8) - 3) (sqrt(x^2 + 8) + 3) = x^2 - 1 = (x + 1) (x - 1)

Passo 5

Vamos juntar tudo então

underset(x -> - 1)(lim) (( sqrt(x^2 + 8) - 3 ) ( sqrt(x^2 + 8) + 3 ))/(( x + 1 ) ( sqrt(x^2 + 8) + 3 )) = underset(x -> - 1)(lim) (( x + 1 ) ( x - 1 ))/(( x + 1 ) ( sqrt(x^2 + 8) + 3 )) = underset(x -> - 1)(lim) (( x - 1 ))/(( sqrt(x^2 + 8) + 3 ))

Agora sim, podemos substituir o ponto na função:

underset(x -> - 1)(lim) (( x - 1 ))/(( sqrt(x^2 + 8) + 3 )) = ((- 1) - 1)/((sqrt((- 1)^2 + 8) + 3)) = (- 2)/(sqrt(9) + 3) = - (2)/(6) = - (1)/(3)

Resposta

underset(x -> - 1)(lim) (sqrt(x^2 + 8) - 3)/(x + 1) = - (1)/(3)

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