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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.5 - Ex. 59

Nos exercícios de 57 a 60 , prove que lim x → + ∞ ⁡ f x = 1 , aplicando a Definição 2.5 . 1 ; isto é, dado ε > 0 , mostre que existe um número N > 0 tal que se x > N , então f x - 1 < ε .

57 )   f x = x 2 - 1 x 2 + 1

Passo 1

A primeira coisa que vamos fazer pra poder completar essa demonstração é escrever a expressão de f x dentro do módulo:

x 2 - 1 x 2 + 1 - 1 < ε

E agora manipulando um pouco:

x 2 - 1 x 2 + 1 - x 2 + 1 x 2 + 1 < ε

x 2 - 1 - x 2 - 1 x 2 + 1 < ε

- 2 x 2 + 1 < ε

- 2 x 2 + 1 < ε

2 x 2 + 1 < ε

O que é o mesmo que, invertendo:

x 2 + 1 2 > 1 ε

x 2 + 1 > 2 ε

Passo 2

Como x 2 + 1 é sempre positivo pra qualquer x que a gente escolha, temos:

x 2 + 1 > 2 ε

x 2 > 2 ε - 1

x 2 > 2 ε - ε ε

x 2 > 2 - ε ε

Como x > N e N > 0 , então descartamos o valor negativo ao colocar a raiz do lado direito

x > 2 - ε ε

Conclusão que chegamos é que se para todo ε > 0 , não importa o quão pequeno, existir um número N definido como N = 2 - ε ε tal que x > N , então será verdade f x - 1 < ε .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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