Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.5 - Ex. 58
Existe algum valor de que torne
contínua em ? Derivável em ? Justifique sua resposta.
Passo 1
Esta é uma questão que contém duas perguntas diferentes sobre uma mesma resposta. E, a resposta para ambas as perguntas, não necessariamente são a mesma. Antes de descobrirmos se a função pode ser contínua ou derivável no ponto , precisamos discutir o que a função precisa satisfazer para ser derivável ou contínua.
Para uma função ser contínua em um ponto , ela deve satisfazer dois critérios:
- existe;
Além disto, para um limite existir, os limites laterais devem ser iguais entre si. Isto é:
Agora, para uma função ser diferenciável, ela deve ser contínua no ponto e, as derivadas laterais devem ser iguais entre si. Isto é:
Vamos então para a nossa questão!
Passo 2
Vamos determinar inicialmente se a função pode ser contínua em , pois, caso o mesmo não possa, a função não será derivável neste ponto. Portanto, vamos começar checando se existe.
Ao olhar a nossa função definida por partes, vemos que, para , a função é regida por . Portanto, existe e é dado por:
Passo 3
Vamos descobrir se o limite existe. Para isto, checamos os limites laterais. Portanto, temos:
Portanto, para que o limite existe, os limites laterais são iguais. Logo, temos:
Passo 4
Como o limite existe e é igual a 1, e o valor da função no ponto também é igual a 1, podemos afirmar que a função será contínua no ponto quando .
Passo 5
Para a função ser derivável, ela deve ser contínua. Portanto, vamos assumir e checar as derivadas laterais, para ver se as mesmas possuem o mesmo valor. Logo, temos:
Portanto, como as derivadas laterais são diferentes, a função não é derivável em .
Resposta
Para a função ser contínua, . Além disto, ela nunca será derivável em .