Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.7 - Ex. 46
Fólio de Descartes (Veja a Figura 3.28):
- Determine o coeficiente angular do fólio de Descartes nos pontos e .
- Em qual ponto, além da origem, o fólio tem uma tangente horizontal?
- Determine as coordenadas do ponto na Figura 3.28 em que o fólio possui uma tangente vertical.
Passo 1
Questões de derivação implícita parecem ser difíceis, mas no final são tão simples quanto quaisquer outras questões de derivadas! Vamos destrinchar trecho por trecho desta questão.
Ela nos pede para determinar os coeficientes angulares em quatro pontos de coordenadas , por exemplo. Os coeficientes angulares nada mais são do que a derivada da função no ponto, isto é, o valor de neste ponto. Como derivaremos implicitamente, encontraremos funções do tipo:
Logo, basta substituir as coordenadas do ponto na função e assim obteremos o valor do coeficiente angular.
Sendo assim, vamos a nossa questão.
Passo 2
Vamos começar por derivar a nossa função implicitamente. Sendo assim, temos:
Passo 3
Para descobrir o coeficiente angular no ponto basta substituir as coordenadas na equação . Assim temos:
Já para o ponto de coordenadas , temos:
Passo 4
O ponto que possui reta tangente horizontal é o ponto cujo coeficiente angular é igual a . Desta forma, é necessário que:
Isto só ocorrerá quando . Desta forma, um ponto de coordenadas . Temos que descobrir qual o valor de que satisfaz a nossa curva de Descartes. Portanto, basta substituir as coordenadas do ponto na equação da curva. Logo, temos:
Logo,
Portanto, o ponto é .
Passo 5
Anteriormente, calculamos . Quando , significa que a reta tangente será vertical. Ao invés de utilizarmos , vamos derivar implicitamente, isto é, como função de . No caso, basta invertermos o numerador com o denominador de . Assim, obtemos:
Quando , . Agora, podemos repetir o procedimento feito no passo anterior. quando o numerador for igual a zero. Isto é:
Temos então um ponto de coordenadas . Para descobrir o valor de que satisfaz o nosso problema, basta substituir na equação da nossa curva. Assim temos:
Logo,
Portanto, o ponto é .
Resposta
- O coeficiente angular do ponto é . Já o do ponto é
- O fólio possui uma tangente horizontal no ponto .
- O fólio possui uma tangente vertical no ponto .