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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.5 - Ex. 59

Determine

(d^(999))/(d x^(999)) ( cos x )

Passo 1

Esta é uma questão que vai bem direto ao ponto. Temos que derivar a função f (x) = cos ( x ) 999 vezes. Isto mesmo, novecentas e noventa e nove vezes a função! Como assim????

Bom, podemos resolver ela através de duas abordagens. A boa e velha “raça”, em que a gente realmente deriva a função 999 vezes, ou, simplesmente, podemos buscar alguma relação entra as derivadas da função cosseno. Vamos utilizar esta última opção. Pode dar um pouco mais de trabalho (precisamos pensar), mas resolverá facilmente a questão!

Passo 2

Vejamos as primeiras 4 derivadas da função cosseno.

(d)/(d x) cos ( x ) = - s e n ( x )

(d^2)/(d x^2) cos ( x ) = - cos ( x )

(d^3)/(d x^3) cos ( x ) = - s e n ( x )

(d^4)/(d x^4) cos ( x ) = cos ( x )

Passo 3

Perceberam que se derivarmos 4 vezes a função cosseno, voltamos a ela mesma? Se continuássemos derivando a nossa função, perceberíamos que, derivadas múltiplas de quatro (8, 12, 16, ...., 996) sempre nos dá a função cosseno. Portanto,

(d^(996))/(d x^(996)) cos (x) = cos (x)

Passo 4

Agora que obtivemos a derivada 996, basta derivar mais três vezes. Portanto, temos:

(d^(997))/(d x^(997)) cos (x) = - s e n ( x )

(d^(99 8))/(d x^(99 8)) cos (x) = - c o s ( x )

(d^(99 9))/(d x^(99 9)) cos (x) = s e n ( x )

Resposta

(d^(999))/(d x^(999)) cos (x) = s e n ( x )

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