Enunciado

Expresse como uma integral definida:

lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n n i + n 2

Sugestão: considere a fução f para a qual f x = 1 x 2 em [ 1,2 ] .

Passo 1

Sabemos da integral definida que:

∫ a b f x d x = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i Δ x

Vamos manipular o somatório para ficar parecido com a expressão acima.

lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n n i + n 2 = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n n n 2 i n + 1 2 = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 1 1 + i ⋅ 1 n 2 1 n  

= lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 1 1 + i ⋅ 2 - 1 n 2 2 - 1 n

Perceba que trocando 1 n = 2 - 1 n por Δ x , conseguimos identificar qual seria a integral definida.

lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 1 1 + i ⋅ Δ x ⏟ x i 2 Δ x

Em que f x = 1 x 2 . Sendo assim,

lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 1 1 + i ⋅ Δ x ⏟ x i 2 Δ x = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f ( x i ) Δ x = ∫ 1 2 1 x 2 d x

lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n n i + n 2 = ∫ 1 2 1 x 2 d x

Resposta

lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n n i + n 2 = ∫ 1 2 1 x 2 d x

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