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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 17

Calcule a integral indefinida

int (s)/(sqrt(2 s + 3)) d s

Passo 1

Primeira coisa que temos que fazer ver como podemos facilitar nossa vida. Como podemos ajeitar as contas para ficar de um jeito que se bater o olho já sabemos como será o resultado. Eu gosto sempre deixar as contas em notação cientifica, isso facilita muito porque podemos usar aquele truque de derivada básico

(d)/(d x) x^n = n x^(n - 1)

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1)

Passo 2

Nosso caso temos que

int (s)/(sqrt(2 s + 3)) d s

Vamos só dar aquele ajeitada básica, e ver se conseguimos melhorar alguma coisa.

int (s)/(sqrt(2 s + 3)) d s -> int s (2 s + 3)^(- 1 // 2) d s

Ainda está estranho né? Vamos fazer o seguinte então. Vamos fazer uma substituição. Atenção ao Truque da vez : Sempre que você ver uma equação dentro de uma raiz, dentro de uma exponenciação é lá que vamos procurar substituir. Okay, vamos cair dentro então !

u = 2 s + 3 -> s = (u - 3)/(2)

d u = 2 d s -> (d u)/(2) = d s

Então saca só como fica a substituição

int s (2 s + 3)^(- 1 // 2) d s -> int (1)/(2) ( (u - 3)/(2) ) (u)^(- 1 // 2) d u

Ahhh olha só a cara disso! Muito melhor! Isso nós conseguimos integrar.

int (1)/(2) ( (u - 3)/(2) ) (u)^(- 1 // 2) d u -> (1)/(4) int u (u)^(- (1)/(2)) - 3 (u)^(- (1)/(2)) d u = (1)/(4) ((2)/(3) u^((3)/(2)) - 6 u^((1)/(2)))

Agora só precisamos voltar com nossa substituição para X

(1)/(4) ((2)/(3) u^((3)/(2)) - 6 u^((1)/(2))) = (1)/(6) (2 s + 3)^((3)/(2)) - (3)/(2) (2 s + 3)^((1)/(2))

E não esqueça, estamos fazendo integrais indefinidas. Então temos que acrescentar uma constante no final da integração.

int (s)/(sqrt(2 s + 3)) d s -> (1)/(6) (2 s + 3)^((3)/(2)) - (3)/(2) (2 s + 3)^((1)/(2)) + C

Prontinho, terminamos por aqui, vou te acompanhar pelos próximos exercícios. Não perde o ritmo, vê se consegue matar vários exercícios de uma tacada só : )

Resposta

int (s)/(sqrt(2 s + 3)) d s -> (1)/(6) (2 s + 3)^((3)/(2)) - (3)/(2) (2 s + 3)^((1)/(2)) + C

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