Dê uma estimativa para a área entre o gráfico da função f e o intervalo [a, b]. Use um esquema de aproximação com n retângulos, análogo ao desenvolvido nesta seção para a função f ( x ) = x 2. Se seu recurso computacional efetuar somatórios automaticamente, estime a área especificada usando n = 10, 50 e 100 retângulos. Caso contrário, estime a área usando n = 2, 5 e 10 retângulos.

f x = 1 x + 1 ; a , b = [ 0,1 ]

Passo 1

Usaremos o método dos retângulos para calcular a área, começando por subdividir o intervalos [ 0,1 ] em n subintervalos iguais, cada um com um comprimento de 1 n , assim,as extremidades serão:

0 , 1 n , 2 n ,   …   , n - 1 n , 1

Passo 2

Agora, tendo a área do triangulo, a base de todos eles vai ser 1 n , uma vez que dividimos o intervalo de tamanho 1 em 1 n . Já a altura vai ser o f ( x ) naquele ponto, logo:

n n + 1 + n n + 2 + n n + 3 + …   + n 2 n - 1 + 1 2

Como todas as bases dos retângulos são iguais, então a área total é:

A t o t a l = n n + 1 + n n + 2 + n n + 3 + …   + n 2 n - 1 + 1 2 1 n

Passo 3

Considerando que para calcularmos a área total, temos:

A t o t a l = n n + 1 + n n + 2 1 n

substituindo esses valores para n = 2 ,   5 ,   10 ,   50 ,   100 , então teremos:

Prontinho!!

Resposta

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