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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.2 - Ex. 70

Expresse o limite como uma integral definida.

underset(n -> oo)(lim) (1)/(n) sum_(i = 1)^n (1)/(1 + ((i)/(n))^2)

Passo 1

Tendo o limite:

underset(n -> oo)(lim) (1)/(n) sum_(i = 1)^n (1)/(1 + ((i)/(n))^2)

Podemos passa o termo (1)/(n) para dentro do somatório:

underset(n -> oo)(lim) sum_(i = 1)^n (1)/(1 + ((i)/(n))^2) xx (1)/(n)

Passo 2

Como a integral definida é dada por:

int_a^b f (x) d x = underset(n -> oo)(lim) sum_(i = 1)^n f (x_i) Delta x

E no caso de Delta x , podemos ver que Delta x = (1)/(n) e x_i = 0 + i Delta x = (1)/(n) .

Passo 3

Assim temos a função f ((1)/(n)) = (1)/(1 + ((i)/(n))^2) pode então ser definida de modo geral como

f (x) = (1)/(1 + x^2)

Então, a integral é definida por:

underset(n -> oo)(lim) (1)/(n) sum_(i = 1)^n (1)/(1 + ((i)/(n))^2) = int_0^1 (1)/(1 + x^2) d x

Resposta

underset(n -> oo)(lim) (1)/(n) sum_(i = 1)^n (1)/(1 + ((i)/(n))^2) = int_0^1 (1)/(1 + x^2) d x

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