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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.Exercícios Práticos - Ex. 19

19. Água em um reservatório Como resultado das fortes chuvas, o volume de água de um reservatório aumentou 1400 acre-pé em 24 horas. Demonstre que, em algum instante durante o referido período, o volume aumentava a uma taxa maior do que 225.000 gal/min. (Um acre-pé equivale a 43.560   p é s 3 , o volume que cobriria 1 acre com 1 pé de profundidade. Um p é 3 contém 7,48 galões.)

Passo 1

Vamos chamar de V t o volume de água no reservatório, no instante t. Antes do inicio da chuva o reservatório possuía um volume inicial de V 0 = V 0 .

Vamos converter o tempo para minutos:

t = 24 h ⋅ 60   m i n 1   h

t = 1440   m i n

Precisamos converter também 1400 acre-pé para um valor de volume e galões, que é a unidade da taxa.

1   a c r e - p é = 43.560   p é s 3

1 = 43.560   p é s 3 1   a c r e - p é

e

1   p é 3 = 7,48   g a l õ e s

1 = 7,48   g a l õ e s 1   p é 3

Se nós multiplicarmos o valor do volume por 1 ele não irá se alterar, portanto vamos usar as relações anteriores para convertermos a unidade:

Δ V = 1400   a c r e - p é ⋅ 43.560   p é s 3 1   a c r e - p é ⋅ 7,48   g a l õ e s 1   p é 3

Podemos cortar o a c r e - p é e o p é 3 e só sobra a unidade que precisamos:

Δ V = 456,160,320   g a l õ e s

Portanto,

V 1440 m i n = V 0 + 456,160,320   g a l õ e s

Passo 2

Vamos considerar que V ( t ) é uma função contínua, dessa forma podemos usar o teorema do valor médio.

Existe um valor t 0 em que:

V ' t 0 = V 1440 m i n - V 0 1440 - 0

V ' t 0 = V 0 + 456,160,320 - V 0 1440

V ' t 0 = 456,160,320 1440

V ' t 0 = 316,778   g a l õ e s / m i n

Ou seja existe um instante em que o reservatório esta enchando a um taxa maior do que 225,000   g a l õ e s / m i n

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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