Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.Revisão - Ex. 29
Faça um gráfico completo de , indique os limites quando e localize todos os extremos relativos, os pontos de inflexão e as assíntotas (quando apropriado).
Passo 1
Analisando os limites laterais da função:
Passo 2
Analisando graficamente não encontramos as assíntotas, e funções polinomiais simples de grau 1 ou mais não podem ter assíntotas.
Passo 3
Para encontrar os pontos de inflexão, vamos calcular a primeira derivada da função e encontrar suas raízes. A seguir, aplicamos as raízes na segunda derivada.
Sendo a função :
Derivando o polinômio :
Agora, precisamos encontrar as raízes desse polinômio. Se
Uma das raízes do polinômio será .
As demais raízes podem ser calculadas se :
Aplicando na fórmula de resolução de equações quadráticas:
Nesse caso, o valor dentro da raiz quadrada não está no conjunto de números reais, portanto a única solução é .
Passo 4
Agora, podemos calcular a segunda derivada:
Aplicando o valor de temos que:
Como esse é um ponto de mínimo.
E afinal, o que são pontos de inflexão? São os zeros da segunda derivada:
Resolvendo :
Resposta
Limites tendem ao infinito.
Não há assíntotas.
é um ponto de mínimo.
Pontos de inflexão: e .