Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.Exercícios Práticos - Ex. 52
Faça o gráfico da função . Em seguida, use a primeira derivada da função para explicar o que você está vendo.
Passo 1
Inicialmente vamos considerar em seguida, manualmente ou com auxílio de algum software obteremos um gráfico parecido com o que está abaixo,
Passo 2
Agora, explicaremos o por que o gráfico ficou daquela forma, mas para isso precisaremos sabe qual a cara de ou seja,
Utilzando a regra da diferença e a regra da cadeia teremos
Reescrevendo as potências teremos,
Sendo assim,
Passo 3
Sabemos que através de podemos encontrar pontos críticos e isso irá nos ajudar a explicar o que está acontecendo com o gráfico de . Dessa maneira, para encontrar pontos críticos precisamos que ,isto é,
Dividindo a igualdade por temos
Para que a fração seja igual a zero,precisamos que o numerador seja igual a zero, ou seja,
Pela propriedade de potência de potência
Aplicando a fórmula de Bhaskara, obteremos que as raízes do polinômio são e
Sendo assim, temos dois candidatos à pontos críticos, vamos verificar se qual a mudança de sinal nas proximidades de cada um deles.
Perceba que, para valores dentro do intervalo , assume valores positivos (cresce). E para valores dentro do intervalo , irá assumir valores negativos (decresce). Logo, é um ponto de máximo no intervalo de
Já, para valores dentro do intervalo ,, assume valores negativos (decresce). E para valores dentro do intervalo , irá assumir valores positivos (cresce). Logo, é um ponto de mínimo no intervalo de
Além disso , vamos analisar como se comporta nos intervalos .Dessa forma, temos que no intervalo ou seja, .
Resposta
assume um máximo em , intervalo de , e um mínimo em no intervalo de Além disso, apresenta um comportamento decrescente no intervalo de por isso o gráfico se apresenta dessa maneira: